Juego de magia con números

Enunciado

Este problema me trae muchos recuerdos. Es el primer problema que usé para enseñar a un grupo de alumnos a resolver problemas, cerca de 1989.

Vamos a probar si funciona. Supongamos que hemos elegido el número 354. Repetirlo dos veces sería formar el número 354354. Dividirlo entre 7 proporciona el número 50622, y es una división exacta, como dice el enunciado. Si ahora dividimos este resultado entre 11, obtenemos 4602, y de nuevo la división es exacta. Por último, tratamos de dividir este número entre 13, y resulta 354, de nuevo de forma exacta. El asombroso resultado está a la vista. ¡Hemos obtenido de nuevo el número de 3 cifras de partida!

Cuando tratamos de explicar algo que sucede, o encontrar una regla general, conviene usar los números más pequeños posible, y vamos a intentar hacerlo también en este caso. ¿Cuál es el número más pequeño que podemos elegir con tres cifras? A muchos se les ocurrirá el 100, y es muy probable que usando ese ejemplo lleguen a la conclusión correcta, pero yo voy a forzar el enunciado, haciendo aún más evidente lo que pasa, eligiendo el número de tres cifras 001.

Si repetimos ese número dos veces obtenemos el 001001, es decir, el 1001. Dividirlo entre 7 proporciona 143. Dividir 143 entre 11, da 13. Y, evidentemente 13 entre 13 da 1, que es 001, el número inicial. ¿Es o no más claro porqué sucede esto? Evidentemente, lo que pasa es que 1001 = 7*11*13.

¿Qué tiene que ver esto con nuestro problema? Si multiplicamos cualquier número de tres cifras (representemoslo como ABC) por 1001 obtenemos un número de seis cifras, en la que tanto las tres primeras como las tres últimas coinciden con las tres cifras iniciales (de la forma ABCABC). Este resultado es fácil de demostrar pensando en que 1001 = 1000 + 1, y aplicando la propiedad distributiva (ABC*(1000 + 1) = ABC*1000 + ABC).

De forma que da lo mismo repetir dos veces nuestro número de 3 cifras que multiplicar por 1001, y eso es lo mismo (por la factorización 1001 = 7*11*13) que multiplicar nuestro número por 7, por 11 y por 13. No es, por tanto, extraño, que si dividimos por esos tres factores dé exacto, y además obtengamos al final el mismo número de tres cifras inicial.

También podríamos haber obtenido la pista clave (que 1001 = 7*11*13) si realizamos las operaciones contrarias a las que nos pide el problema, es decir, reconstruimos el número por el que dividimos a nuestro número de seis cifras, multiplicando 7*11*13.