El cubo rojo

Enunciado

Dibujo del cubo

En este problema la parte más difícil es visualizar lo que estamos buscando. Hemos cortado el cubo en tres capas, que a su vez se han cortado en tres líneas, y cada una de ellas en tres cubos. Está formado ahora por 27 cubos más pequeñitos. ¿Cómo hemos de mirarlo para contar lo que se nos pide?

Si miramos el fragmento que he dibujado a la derecha, podemos apreciar que hay a la vista diferentes tipos de cubo. El del centro del cubo estaba totalmente tapado cuando lo pintaron, de forma que no tiene ninguna capa pintada, y es el único al que le sucede. Sin embargo, los de las esquinas quedaron más expuestos, y acabaron pintados en tres de sus caras.

Si retiramos mentalmente los de las esquinas, ¿cómo queda el cubo? En total, los que quitamos son 8, todos ellos pintados por tres lados.

Cubo sin vértices

Si observamos el dibujo del cubo tal y como quedaría, está claro que hay ahora muy a la vista los de los centros de los lados, que sólo tienen dos de sus caras en rojo. ¿Cuántos están visibles? Si vamos por capas, serán 4 arriba, 4 en el centro y otros 4 abajo. En total, 12 cubos pintados por dos caras.

Cruceta central

Una vez eliminados estos cubos ¿Qué quedaría del cubo? Una especie de cruz, que vemos en el tercer dibujo. Y está claro que sólo queda pintura en lo que sería el centro de las caras, que son cubos que tienen una única cara pintada. Y son 6, como el número de caras del cubo.

Quitar estos cubos nos dejaría un único cubo central, que no tiene ninguna cara pintada.

Así que tenemos 8 con tres, 12 con dos, 6 con una y 1 con ninguna. Comprueba que 8 + 12 + 6 + 1 = 27.

¿Y para un cubo partido en 1000 cubitos (10 por 10 por 10)? Podríamos seguir un recuento similar, aunque ahora no hace falta que haga los dibujos. En primer lugar, quitaríamos las 8 esquinas, con tres caras pintadas. Después, los cubos laterales, que ahora serían 8 en cada arista. Como hay 12 aristas, tendríamos un total de 8*12 = 96 cubos con dos caras pintadas. Por último, hemos de quitar lo que queda de cada cara, que será un gran cuadrado de 8 por 8 en cada una de las 6 caras, que sólo tendrán una cara pintada. Y 8*8*6 = 384 cubitos con una única cara pintada. Al final, nos quedará un gran cubo central, al que hemos quitado todo resto de "piel" roja. Este cubo tendrá 8 cubos de lado (hemos quitado una capa de un cubo de cada extremo), por lo que tendrá 8*8*8 = 512 cubos sin ninguna cara coloreada. Comprobamos de nuevo que 8 + 96 + 384 + 512 = 1000.

¿Y con el valor genérico n? Aquí no nos queda más remedio que recurrir a polinomios para algunas expresiones.

De nuevo, los 8 vértices serán los únicos cubos con 3 caras pintadas.

Cada una de las 12 aristas está formada por cubos con dos aristas pintadas. Como hay n - 2 cubos en cada una de ellas, tenemos 12n - 24 cubos.

Ahora, los centros de las 6 caras. Cuadrados de n - 2 cubos de lado, que harían un total de (n - 2)², pero multiplicado por 6. Si conoces las operaciones con polinomios, o las igualdades notables, sabrás que esto resulta ser 6n² - 24n + 24.

Por último, hay en el centro un gran cubo, de lado n - 2, sin nada pintado de rojo, que en total serán (n - 2)³, o lo que es lo mismo, n³ - 6n² + 12n - 8 cubos.

Comprobamos, para terminar que 8 + 12n - 24 + 6n² - 24n + 24 + n³ - 6n² + 12n - 8 = n³.