Sistema de ecuaciones

Enunciado

Tal y como está escrito el enunciado, se trata de un sistema de ecuaciones con una ecuación de segundo grado y otra de tercer grado. Si tratamos de emplear un método similar a los sistemas lineales podemos fácilmente encontrarnos con una ecuación de sexto grado, con lo que el problema se vuelva extremadamente complejo en el mejor de los casos.

Como alternativa, podemos buscar una factorización o un cambio de variable que nos sea favorable. Una de las pistas más interesante es que todos los términos tienen el mismo grado dentro de cada ecuación, así que tal vez podamos lograr algo fácilmente.

En la segunda ecuación, es fácil ver (sacando factor común) que x²y + xy² = xy(x + y) = -2.

En la primera no podremos factorizar la expresión, pero sí podemos compararla a uno de los productos notables más conocidos, (x + y)² = x² + 2xy + y². Evidentemente, la ecuación que tenemos es casi la misma. De hecho, x² - xy + y² = (x + y)² - 3xy = 7.

Ahora, en ambas expresiones aparecen dos expresiones similares: x + y y xy. Vamos a substituir estas expresiones por variables sencillas, de forma que, por ejemplo, s = x + y y t = xy. Las ecuaciones quedan como s² - 3t = 7 y st = -2.

Aún así, las expresiones no son sencillas. Si despejamos la t en la ecuación inferior, obtenemos que t = -2/s, así que si substituimos en la superior, obtenemos la igualdad s² + 6/s = 7. Si quitamos el denominador, queda como s³ + 6 = 7s, y pasando todos los términos al extremo izquierdo, s³ - 7s + 6 = 0.

Salvo que tengamos fórmulas para la ecuación de tercer grado (sí, existen), tendremos que hallar las raíces del polinomio por tanteo. Si tiene raíces enteras, dividirán a 6, así que probamos con 1, -1, 2,...

No hace falta ir muy lejos, ¡1 es solución! Eso quiere decir que el polinomio es factorizable por s - 1, es decir, que s³ - 7s + 6 = (s - 1)(s² + s + 6). Por otra parte, aplicando la fórmula de las raíces de un polinomio de segundo grado, podemos descomponer también este último, de forma que s³ - 7s + 6 = (s - 1)(s - 2)(s + 3).

Es decir, las soluciones del sistema son s = 1, s = 2 y s = -3, que corresponden, respectivamente, a t = -2, t = -1 y t = 2/3.

Pero aún no hemos acabado. ¿Qué valores de x e y se asocian a los que tenemos para s y t? Recordemos que xy = t y que x + y = s.

En el caso s = 1, t = -2, xy = -2 y x + y = 1. Luego y = 1 - x, por lo que x(1-x) = -2. De esta ecuación surge la ecuación de segundo grado x² - x - 2 = 0, con soluciones x = 2, y = -1 y x = -1, y = 2.

En el caso s = 2, t = -1, xy = -1 y x + y = 2. Luego y = 2 - x, por lo que x(2-x) = -1. De esta ecuación surge la ecuación de segundo grado x² - 2x - 1 = 0, con soluciones x = 1 + √2, y = 1 - √2 y x = 1 - √2, y = 1 + √2.

En el caso s = -3, t = 2/3, xy = 2/3 y x + y = -3. Luego y = -3 - x, por lo que x(-3-x) = 2/3. De esta ecuación surge la ecuación de segundo grado x² + 3x + 2/3 = 0, con soluciones x = (-9 + √57)/6, y = (-9 - √57)/6 y x = (-9 - √57)/6, y = (-9 + √57)/6.

Como se puede observar, son seis las soluciones, simétricas todas ellas dos a dos.