Parábolas con el mismo vértice

Enunciado

Recordemos cómo se obtiene el vértice de una parábola y = Ax² + Bx + C. Si transformamos la expresión en una constante más un cuadrado, se tiene que Ax² + Bx + C = ((Ax)² + ABx + AC)/A = ((2Ax)² + 4ABx + 4AC)/(4A) = ((2Ax)² + 2*2Ax*B + B² + 4AC - B²)/(4A) = (2Ax + B)²)/(4A) + (4AC - B²)/(4A), de donde 4Ay - (4AC - B²) = (2Ax + B)²).

A partir de esta igualdad, podemos obtener, mediante un cambio de variable, una ecuación de la forma y = A*x², de la que sabemos que su vértice está en el punto (0,0). El cambio de variable desplaza la x a 2Ax + B, es decir, que la primera coordenada es -B/2A, como ya sabréis si habéis estudiado las parábolas, y la segunda coordenada, que se puede obtener de varias formas, es C - B²/(4A).

Aplicado en nuestro caso, se deduce que para que ambas ecuaciones tengan los mismos vértices, -b/2a = -c/2b, de donde, cambiando signos y quitando factores iguales y fracciones, que b² = ac. Sin embargo, aplicar sin más las ecuaciones de la otra coordenada nos lleva a una ecuación de tercer grado sin aparente solución.

En estos casos, se impone alguna prueba, como, por ejemplo, darle valores a una de las variables para determinar qué dos parábolas obtenemos. Supongamos que a = 1. De ahí se obtiene una ecuación también de tercer grado, b³ + 3b² - 4 = 0. Esta ecuación podemos tratar de resolverla por tanteo, obteniendo que b = -2 (solución doble) y b = 1, que se descarta pues nos dicen que b debe ser distinto a a. Esto pude dar una idea para abordar la ecuación de tercer grado en dos variables.

Probemos ahora con la ecuación que hemos obtenido. Retomando la fórmula del vértice, nos lleva a que c - b²/(4a) = a - c²/(4b). Quitando denominadores, 4abc - b³ = 4a²b - ac². Podemos eliminar un término ya usando b² = ac, de forma que el primer término se reduce a 3abc = 4a²b - ac². Como a no es nulo, 3bc = 4ab - c². Pasamos los términos con b a un extremo, y c² = b(4a - 3c). Si elevamos al cuadrado, podremos reemplazar todas las b de la ecuación, de forma que nos queda c⁴ = ac(4a-3c)². Como b no se anula, c tampoco es posible que se anule, por lo que podemos simplificarla y la ecuación que queda, tras operar es 16a³ - 24a²c + 9ac² -c³ = 0.

Como decía, no es evidente que tenga ninguna solución, pero resulta que obteníamos una solución inútil en la prueba cuando b era igual a a, y que obliga a que c fuese también a. Por eso, se me ocurrió dividir entre a - c, que no se puede anular. El resultado es sorprendente, porque el polinomio es divisible y queda 16a² - 8ac + c² = 0. Ésto sí es una ecuación de segundo grado, es más, un cuadrado perfecto, (4a - c)² = 0, por lo que c = 4a. Por supuesto, b = -2a, pues la otra opción (b = 2a) no produce, como se puede comprobar substituyendo en la ecuación antes de elevar al cuadrado, una solución válida.

De esta forma, las ternas son de la forma (a, -2a, 4a).

La clave del problema es entender que, puesto que a ≠ b, las dos parábolas sólo pueden coincidir en un punto. Y, si éste se trata del vértice, y claramente coinciden en el punto en el que x = 1 (pues los tres coeficientes son los mismos en distinto orden, y, por tanto, el punto (1,a + b + c) pertenece a ambas parábolas). Haciendo uso de esta propiedad, el problema se reduce mucho, y evita el trabajo de resolver una ecuación de tercer grado.