La mitad del cuadrilátero

Enunciado

cuadrilátero partido

El cuadrilátero que se propone en el problema es, según observamos cuando lo dibujamos en un eje de coordenadas, un trapecio. Es decir, dos de sus lados son paralelos (además, paralelos al eje vertical de coordenadas).

Debido a eso, una recta que pasa por el centro de coordenadas (y tiene la inclinación adecuada) corta precisamente los dos lados paralelos. Puesto que estos cumplen que su coordenada x es, respectivamente, 1 y 3, basta averiguar la coordenada y correspondiente a los puntos de corte.

La condición para encontrar dicha recta es que el área en que divide al cuadrilátero (trapecio) inicial debe ser la mitad. Necesitamos, por tanto, saber el área del trapecio. Si no sabemos una fórmula específica, podemos dividirlo en un rectángulo (entre los puntos (1,0), (3,0), (3,4) y (1,4)), cuya área será 4*2 = 8 unidades cuadradas y un triángulo (entre los puntos (1,4), (3,4) y (3,5)), cuya área será 1*2/2 = 1. Por tanto, el área del trapecio es 8 + 1 = 9. Visto como trapecio, también es la media de los dos lados paralelos por la altura, es decir 2*(4 + 5)/2 = 9.

La mitad de este valor es 9/2, que debe ser el área de las dos figuras que forma la recta al cortar el cuadrilátero. Suponiendo que la recta que buscamos es de la forma y = ax (ya que pasa por el origen, por lo que no tiene término independiente), los puntos de corte serán (1,a) y (3,3a). La figura que se forma por debajo de la recta podemos verla de nuevo como trapecio, y aplicar el mismo método, o bien como diferencia de dos triángulos (el formado por los puntos (0,0), (3,0) y (3,3a) menos el que forman los puntos (0,0), (1,0) y (1, a)). Esta última forma de verlo es la más sencilla de tratar, así su área sería 3*3a/2 - 1*a/2 = 8a/2 = 4a.

De la igualdad 9/2 = 4a, obtenemos que a debe valer 9/8, es decir, que la recta buscada es y = 9x/8.