Un cuadrado y dos triángulos

Enunciado

Este problema puede ser muy interesante si se trabaja bien. Cuando pensamos en figuras cerradas, está claro que separan el plano en dos espacios, el interior y el exterior. Lo primero que debemos hacer es si el espacio exterior de una figura se considera o no región. Para este problema, yo no lo contaría como región, pero si la contamos bastará seguir el mismo razonamiento añadiendo una región más.

Sin cortes

Cuando consideramos dos figuras cerradas (por ejemplo, un triángulo y un cuadrado), si las dibujamos sin que sus lados se corten, sólo delimitan o definen dos regiones, independientemente de si uno de ellos está dentro del otro o no (ver la imagen sin cortes).

Dos cortes

Claro, que también podemos hacer que se corten (si es un único punto no surge una región) en dos puntos, y así tendremos tres regiones (imagen dos cortes). A partir de aquí, cada par de cortes añaden dos regiones más. Si dibujamos el triángulo más grande, podemos llegar a cortar hasta seis veces el cuadrado, con lo que podemos llegar hasta un total de siete regiones. Y no podemos cortar más las figuras, ya que una recta corta dos veces a un cuadrado como máximo, y así los tres lados del triángulo están aprovechados del todo. Es importante entender que el número de zonas que delimitan las figuras depende del número de cortes que podamos conseguir, y que no importa dónde se corten, porque así no dedicaremos demasiado tiempo a dibujar todas las situaciones posibles.

Seis cortes

Bueno, ahora vamos con el segundo triángulo. Como sabemos, deberá cortar al cuadrado seis veces, que es el máximo. Si planteamos cuántos cortes podemos conseguir con el anterior triángulo, es sencillo llegar a la conclusión de que también podemos conseguir seis cortes (además con mucha facilidad, sencillamente, tratando de dibujar el mismo triángulo formando una estrella, por ejemplo, mediante un giro central de 30 grados). El resultado, tratando de aumentar el número de cortes al máximo, sin que coincida ninguno, tendrá un total de doce cortes, que representan doce regiones más, hasta un total de 19 regiones, que puedes ver en la figura siguiente.

Dieciocho cortes

Si tratas de contarlas, fíjate bien, porque alguna de ellas me ha salido muy pequeñita. Seguro que tú puedes hacer un dibujo mejor.