La media de los divisores

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Como siempre, vamos a experimentar un poco con números bajos. Si probamos con 2 y 3, por ejemplo, con 6 = 2*3, sus divisores son 4: 1, 2, 3 y 6. La suma de todos es 12, por lo que la media es 3, un número entero. Así, para 2 y 3 bastaría usar a = b = 1. Probemos ahora con 3 y 7 por ejemplo. Con 21, tenemos que sus divisores son 1, 3, 7 y 21, y su suma es 32, también divisible entre 4, da 8.

Como ejemplo algo más difícil, tenemos el caso de los primos 2 y 5. Con 10, los divisores son 1, 2, 5 y 10, y suman 18, que no es divisible entre 4, que es el número total. Sin embargo, si tomamos el 20 (a =2, b =1), resulta que los divisores son 1, 2, 4, 5, 10 y 20, y su suma es 42, que es divisible entre el número de divisores, 6.

Lo primero que tenemos que observar es de qué depende el número de divisores, y cómo se sabe cuáles son. Una manera de construir los divisores puede ser tomar primero una fila con todas las potencias de uno de los primos, después los multiplicamos todos ellos por el otro primo y los situamos en otra fila, después los multiplicamos todos por la siguiente potencia del otro primo, y así hasta agotarlos. En total, tendremos una tabla de (a + 1)*(b + 1) divisores, que son todos los posibles. Para conseguir que la media dé entera la suma de todos los divisores debe ser múltiplo de la cantidad de divisores.

Una de las estrategias para conseguirlo es dejar a 1 uno de los exponentes, e ir subiendo poco a poco el valor del otro hasta conseguir que sea divisible. El número total de divisores irá aumentando de 2 en 2. Algo tendrá que ser par. En el caso de 2 y 5, nos damos cuenta de que cuando tenemos 6 divisores sale divisible, y es curioso que 1 + 5 sea 6, y podemos agrupar los divisores de forma que todos sean divisibles entre 6 (1 + 5, 2*(1 + 5) y 4*(1 + 5)).

Evidentemente, para generalizarlo, observamos que al tener dos primos, uno de los dos es impar, y al sumarlo a 1 (1 + p) es un número par. Ahora, todos los demás divisores podemos agruparlos como múltiplos de (1 + p), siempre que no aparezcan potencias mayores de p. Será de la forma 1 + p, q(1 + p), q²(1+ p) y similares. ¿Hasta qué potencia necesitaremos aumentar q? Hasta que el número de divisores en total sea igual, o divida por lo menos, a 1 + p. En este caso, a = 1 y (por ejemplo) b = (p - 1)/2. El número total de divisores es 2*(1+ (p-1)/2) = p + 1. Como hemos visto que la suma de todos los divisores es (1 + p)*(1 + q + ... + q^{(p - 1)/2}) y evidentemente, es divisible entre 1 + p, de forma que la media saldrá entera.

En definitiva, tomamos uno de los dos que sea impar, lo situamos como p, y tomamos a = 1 y b = (p - 1)/2 (en realidad, vale cualquier divisor).