Una desigualdad muy grande

Enunciado

Lo normal es intentar, en principio, probar la desigualdad para números concretos, para ver si hay alguna pista que nos lleve a la solución. Entre 0 y 1 hay muchos valores, nos puede valer cualquiera de muestra, como por ejemplo el a=1/4, b=3/4. ab² = 9/64, a²b = 3/64, por lo que el primer sumando es √(12/64) = √3/4. Observamos que el segundo sumando es igual, porque en este caso 1 - a = b, por lo que todo lo que queda a la derecha de la igualdad es √3/2. Comparar este resultado con √2 es trivial, ya que si lo elevamos al cuadrado da 3/4, muy lejos de 2.

Lo primero que observamos es que si a y b están entre 0 y 1, también lo están 1 - a y 1 - b (no necesariamente coinciden uno con otro). Parece que hemos tenido suerte con la suma, porque no parece que generalmente vayan a aparecer factores que pueda usar como factores comunes.

En la expresión general podemos hacer algo que aparentemente simplifica un poco, ya que √(ab2 + a2b) + √((1 - a)(1 - b)2 + (1 - a)2(1 - b)) = √(ab(b + a)) + √((1 - a)(1 - b)(1 - a + 1 - b)) = √(ab(b + a)) + √((1 - a)(1 - b)(2 - (a + b))). Si nos fijamos bien, dos de los tres factores de las raíces son menores que 1, y el otro es una suma. Hay una manera muy sencilla de "convertirlo" en un valor menor que 1, así que tenemos la siguiente igualdad √(ab(b + a)) + √((1 - a)(1 - b)(2 - (a + b))) = √(2ab(b + a)/2) + √(2(1 - a)(1 - b)(1 - (a + b)/2)). Ahora, ese factor 2 de dentro de la raíz se puede sacar factor común de toda la expresión, de forma que tengamos √(2ab(b + a)/2) + √(2(1 - a)(1 - b)(1 - (a + b)/2)) = √2·(√(ab(b + a)/2) + √((1 - a)(1 - b)(1 - (a + b)/2))).

Como ya sabréis, es muy difícil simplificar expresiones en las que aparezcan sumas y raíces, pero como se trata de una desigualdad, podemos tratar de utilizar una fórmula que da mucho juego: la desigualdad de medias aritmética y geométrica. Esta desigualdad, que debe ser conocida, afirma que para cualquier par de números reales positivos, √(ab) < (a + b)/2. También se puede plantear con medias entre más números, pero entonces se aplica a raíces cúbicas, y no es lo que tenemos aquí.

En realidad, dentro de las raíces tenemos tres números, pero como 0 < (a + b)/2 < 1, tenemos que ab(b + a)/2) < ab, y (1 - a)(1 - b)(1 - (a + b)/2) < (1 - a)(1 - b), por lo que la expresión completa cumple √2·(√(ab(b + a)/2) + √((1 - a)(1 - b)(1 - (a + b)/2))) < √2·(√(ab) + √((1 - a)(1 - b))). Ahora ya se puede aplicar la desigualdad de las medias, que en este caso simplifica mucho las cosas, ya que √2·(√(ab) + √((1 - a)(1 - b))) < √2·((a + b)/2 + (1 - a + 1 - b)/2) = √2·((a + b + 1 - a + 1 - b)/2) = √2·(2/2) = √2, que es exactamente lo que queremos probar.

Si estas transformaciones no dieran resultado, otra estrategia que podemos trazar es fijar un valor para a (por ejemplo, 1/4) y estudiar la desigualdad con una sola variable, para después crear un método genérico que sirva para otros valores de a.