Un segmento desde el centro

Enunciado

Lo primero que debemos conocer es el lado del cuadrado. Como coincide con la hipotenusa de un triángulo de catetos 6 y 8, debe medir la raíz cuadrada de 36 + 64 = 100 (por el Teorema de Pitágoras), es decir, 10 unidades.

Encajando en un rectángulo

Para poder medir el segmento que buscamos podemos tratar de meterlo en un rectángulo y medir sus lados, para encontrar su diagonal mediante Pitágoras. Para eso, levantamos dos paralelas a los lados AD y BC del cuadrado por E y por F, y dos paralelas a los lados AB y CD por E y por F.

Las líneas que cortan la lado AB, marcan los puntos H (el centro) y G (el pie de la altura), y hemos marcado con el nombre I al otro vértice del rectángulo que está dentro del cuadrado, además de E.

El triángulo AFG es rectángulo en G, igual que ABF es rectángulo en F. Como comparten, además, el ángulo agudo A, resulta que son semejantes, es decir, a escala. La proporción de escala se puede calcular fácilmente, pues en ambos conocemos la hipotenusa. En AFG mide 6, y en ABF mide 10, por lo que la escala es 5/3 (o 3/5, según se mire). Así, sabemos que AG = 6*3/5 = 18/5, y que FG = 8*3/5 = 24/5.

Como H está en el centro de AB, AH mide 5, de forma que HG, que mide lo mismo que el lado corto del rectángulo, mide 5 - 18/5 = (25 - 18)/5 = 7/5.

Por otro lado, GI mide la mitad del cuadrado, es decir, 5, y FI = FG + GI = 24/5 + 5 = (24 + 25)/5 = 49/5.

La diagonal es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 7/5 y 49/5, por lo que su cuadrado será la suma de 49/25 + 2401/25 = 2450/25 = 98, es decir, que la hipotenusa mide la raíz cuadrada de 98, un poco menos que 10 (también se puede expresar como 7 por raíz cuadrada de 2).