domingo, 22 de marzo de 2009

El Mayor Factor Impar

Enunciado

He de reconocer que cuando vi el enunciado del problema que me inspiró éste, me pareció increíble que la suma cuadrase. Tuve que hacer varias comprobaciones, primero para verificarlo, y después para comprender el patrón que había detrás.

Pensemos en un número, por ejemplo, el 6. los números del 6 al 12 son el 7, 8 , 9 , 10, 11 y 12. sus MFI son, respectivamente, 7, 1, 9, 5, 11 y 3, que como se puede comprobar suma 36.

Como todos habréis visto a estas alturas, los cuadrados son suma de impares consecutivos, y en este caso podríamos haber ordenado los MFI como 1, 3, 5, 7, 9 y 11. En efecto, con la fórmula de progresiones aritméticas, sabemos que 1 + 3 + 5 + ... + 2n - 1 = n*(2n - 1 + 1)/2 = n2. También sería sencillo demostrar que la fórmula es correcta por inducción completa, ya que es cierta para n = 1, y si es cierta para n, es sencillo verificarla para n + 1, ya que (n + 1)2 = n2 + 2n + 1, siendo 2n + 1 el siguiente impar.

Pero ¿cómo podemos asegurar que los MFI son todos los impares? La cantidad de números es, desde luego, la adecuada, ya que entre n y 2n hay exactamente los n números que necesitamos. Desde luego, son todos impares, y menores que 2n. Bastaría ver que no hay dos repetidos para asegurar que están todos.

Y es claro que no hay dos repetidos, porque si dos números distintos a y b tienen el mismo MFI c, entonces hay dos potencias de dos s, t de forma que a = s*c, b = t*c. Claramente, su cociente es múltiplo de 2. Y entre los números de n a 2n no puede haber dos que sea uno doble del otro.