domingo, 29 de marzo de 2009

Rompecabezas geométrico

Enunciado

Una parte del problema es hacer correctamente el dibujo. En realidad sólo hay una manera de dibujarlo correctamente, salvo en un par de detalles: dónde empezamos a dibujar el rectángulo y qué proporciones usamos para sus dos lados diferentes.

Triángulos en un rectángulo

Triángulos en un rectángulo

Si lo dibujamos en un papel, a lo mejor hemos de girar el papel hasta dar con el punto de vista más adecuado (ya sabéis que el área de un triángulo es la mitad del producto de la base por la altura, pero podemos elegir entre tres bases distintas del triángulo). Como no es cuestión de girar la página web, lo he dibujado de la forma que creo que es más conveniente para ver las proporciones.

Fijaos en que siempre se nombran los vértices de un polígono en el sentido de giro de las agujas de un reloj, pero es un convenio.

Un detalle que necesitamos entender es que la distancia entre S y Q es la mitad que la distancia entre M y Q (o, dicho de otra manera, SQ = MS). Esto es debido a que S es el punto medio del rectángulo formado por ABNP, o a que el triángulo NSQ es igual al ASM, como es fácil de averiguar si estudias ángulos y las longitudes conocidas.

Ahora, sabemos que el área del triángulo QSA (verde en el dibujo) es de 1 centímetro cuadrado. El área se puede relacionar con el producto de base por altura, y tomamos como base el segmento SQ, así la altura coincide con AM.

Si nos fijamos el triángulo AQO (rojo en el dibujo) tiene una base (OQ) que es doble que la del verde, y la misma altura sobre ella. Por eso su área será doble, es decir, 2 centímetros cuadrados.

Además, el triángulo NSO (azul en el dibujo), si le damos la vuelta, tiene una base que coincide con OS, y que por tanto es triple que SQ, y su altura, NQ, coincide con AM, es decir, con la altura del triángulo inicial. Es decir, que su área es 3 centímetros cuadrados.

El triángulo que buscamos es NOA, que es suma de los tres, y por tanto tendrá un área de 6 centímetros cuadrados.