Cuarto problema de la Iberoamericana 2008

Enunciado

Este es un problema de ecuaciones diofánticas, es decir, de números enteros. Por lo tanto, ya que no se puede despejar mucho de una ecuación en la que aparecen potencias y sumas, hay que recurrir a las propiedades de divisibilidad.

Trataremos de llegar a un absurdo, suponiendo que la igualdad es cierta.

El término más sencillo de analizar es 21^y, que sólo tendrá factores 3 y 7, repetidos y veces (y es claro que y > 1). Si aparecen estos actores en el otro término, y son comunes, podemos tratar de extraerlos.

El término 2008! es un producto de los números enteros desde el 1 hasta el 2008, y, evidentemente, aparecerán muchas veces los factores 3 y 7. En este caso nos interesará más adelante saber exactamente cuántas veces aparecen.

Cada tres números aparece un factor 3, por lo que podemos contar estos factores por el sencillo método de dividir 2008 entre 3 (da 669, nos quedamos con la parte entera). Pero, cada tres de estos números, contienen un factor 3 más, que también se incorpora al producto (así, 9, 18, 27, 36, ... tienen un factor más). ¿Cuántos habrá? Basta dividir 669 entre 3 (da 223). A su vez, uno de cada tres de estos números incorporará un factor 3 más (27, 54, 81, ...). Por tanto, de nuevo dividiremos 223 entre 3 (da 74). De la misma forma, debemos dividir 74 entre 3 (24), el resultado entre 3 (8) y éste entre 3 (2). Como no llega a haber 3 de estos números no queda ningún factor más, por lo que tendremos en 2008! exactamente 669 + 223 + 74 +24 + 8 + 2 = 1000 factores 3.

Para el factor 7, efectuaremos una serie de operaciones similar, aunque más breve. 2008 entre 7 da un resultado enteros de 286, que a suvez da 40 al dividirlo entre 7, y éste da entre 7 sólo 5, que es menor de 7. Por lo que la cantidad de factores 7 que aparece en 2008! es 5 + 40 + 286 = 331.

Evidentemente, la cantidad de factores 7 es mucho menor a la cantidad de factores 3. Ahora, distinguiremos casos según que estos factores aparezcan o no en el número x.

Si el número x no tiene factores 3 o 7, tampoco los tendrá x²⁰⁰⁸. Y si se cumple la igualdad debería ser diferencia de dos números que sí los tienen, por lo que no es posible esta situación.

Por tanto, el número x tiene factores 3 y 7. Supongamos que x = 3*7*k. Como ya sabemos, 2008! = 3¹⁰⁰⁰*7³³¹*t, donde t es un entero que no es múltiplo de 3 ni de 7, pues 2008! sólo tiene los factores 3 y 7 que hemos indicado. Así, x²⁰⁰⁸ + 2008! = 3²⁰⁰⁸*7²⁰⁰⁸*k²⁰⁰⁸ + 3¹⁰⁰⁰*7³³¹*t. Sacando en esta expresión los factores comunes 3 y 7 que aparecen, tenemos que es igual a 3¹⁰⁰⁰*7³³¹*(3¹⁰⁰⁸*7¹⁶⁷⁷*k + t). Esta suma entre paréntesis nunca puede ser múltiplo de 3 ni de 7, ya que t no lo es y le sumamos una cantidad que sí, mientras que el otro lado de la igualdad sí es, con lo que obtenemos una contradicción definitiva.