La herencia

Enunciado

Este es un problema que se debe poder resolver con ecuaciones, sin ninguna dificultad añadida, salvo tal vez la manipulación de las expresiones.

Supongamos que son x la cantidad de herederos, y que sea y el número de metros cuadrados del terreno a repartir. En el reparto inicial, cada uno de ellos obtiene y/x.

Si aumenta el número de herederos, la cantidad a repartir sería y/(x + 3), y, según el problema, sería igual a y/x - 20. La ecuación correspondiente es y/(x + 3) = y/x - 20.

Si disminuye el número de herederos, la ecuación que obtenemos es y/(x - 4) = y/x + 50.

Si quitamos denominadores, las ecuaciones quedan, respectivamente como yx = y(x + 3) - 20x(x + 3), y como yx = y(x - 4) + 50x(x - 4). Si desarrollamos ambas expresiones, tendremos a partir de la primera que yx = yx + 3y - 20x² - 60x, es decir, 20x² + 60x - 3y = 0, y de la segunda, obtenemos que yx = yx -4y + 50x² - 200x, que queda como 0 = 50x² - 200x -4y.

Lo más sencillo resulta eliminar la variable y por reducción, de forma que multiplicamos la primera ecuación por -4 y la segunda por 3 y sumamos ambas, obteniendo que 70x² - 840x = 0, ecuación que tiene dos soluciones, x = 0, que es claramente imposible (no podríamos dividir por x), y x = 12. Substituyendo en la primera, que es la ecuación más sencilla, tendremos que 20*144 + 60*12 = 3y, por lo que 3y = 2880 + 720 = 3600, por lo que y = 1200 metros cuadrados, que es lo que pregunta el problema.

Podemos comprobar que el reparto entre los herederos es de 100 metros cuadrados, pero si son 3 más, al dividir entre 15, saldría 80 metros cuadrados, que son claramente 20 menos. Por otra parte, si fuesen 4 menos serían 8, y el reparto daría 150 metros cuadrados a cada uno, lo que sería 50 más, como requiere el problema.