jueves, 6 de agosto de 2009

La herencia

Enunciado

Este es un problema que se debe poder resolver con ecuaciones, sin ninguna dificultad añadida, salvo tal vez la manipulación de las expresiones.

Supongamos que son x la cantidad de herederos, y que sea y el número de metros cuadrados del terreno a repartir. En el reparto inicial, cada uno de ellos obtiene y/x.

Si aumenta el número de herederos, la cantidad a repartir sería y/(x + 3), y, según el problema, sería igual a y/x - 20. La ecuación correspondiente es y/(x + 3) = y/x - 20.

Si disminuye el número de herederos, la ecuación que obtenemos es y/(x - 4) = y/x + 50.

Si quitamos denominadores, las ecuaciones quedan, respectivamente como yx = y(x + 3) - 20x(x + 3), y como yx = y(x - 4) + 50x(x - 4). Si desarrollamos ambas expresiones, tendremos a partir de la primera que yx = yx + 3y - 20x2 - 60x, es decir, 20x2 + 60x - 3y = 0, y de la segunda, obtenemos que yx = yx -4y + 50x2 - 200x, que queda como 0 = 50x2 - 200x -4y.

Lo más sencillo resulta eliminar la variable y por reducción, de forma que multiplicamos la primera ecuación por -4 y la segunda por 3 y sumamos ambas, obteniendo que 70x2 - 840x = 0, ecuación que tiene dos soluciones, x = 0, que es claramente imposible (no podríamos dividir por x), y x = 12. Substituyendo en la primera, que es la ecuación más sencilla, tendremos que 20*144 + 60*12 = 3y, por lo que 3y = 2880 + 720 = 3600, por lo que y = 1200 metros cuadrados, que es lo que pregunta el problema.

Podemos comprobar que el reparto entre los herederos es de 100 metros cuadrados, pero si son 3 más, al dividir entre 15, saldría 80 metros cuadrados, que son claramente 20 menos. Por otra parte, si fuesen 4 menos serían 8, y el reparto daría 150 metros cuadrados a cada uno, lo que sería 50 más, como requiere el problema.