La cruz sombreada
Media cruz en un cuadrado
La clave en todos los problemas de cálculo de áreas compuestas consiste en descubrir cómo podemos construir la figura o una parte de ella a partir de figuras elementales. En este caso, podemos trazar la mitad de la cruz dibujando sólo el cuadrado y cuatro de los círculos, de la forma que aparece en la imagen.
Los dos círculos grandes, que pasan por el centro, tienen por radio la mitad de la diagonal del cuadrado, y el radio aparece en dos posiciones diferentes, sobre la diagonal y sobre los lados del cuadrado. Esta mitad de la diagonal mide, aplicando el Teorema de Pitágoras, la raíz cuadrada de 8 partida por 2, lo que equivale a la raíz cuadrada de 2.
Y la parte restante de los lados es el radio de la otra circunferencia, 2 - √2.
Así que el área de la figura es el área del cuadrado menos el área de los cuatro cuartos de circunferencia, es decir, 4 - 2π/2 - (2 - √2)2π/2.
La expresión (2 - √2)2/2 se puede transformar en (4 - 4√2 + 2)/2 = (6 - 4√2)/2 = 3 - 2√2.
De esta forma, el área de esa media cruz, quedaría como 4 - π - 3π + 2π√2 = 4 - 4π + 2π√2, que vale aproximadamente 0,3194 unidades cuadradas.
Y el área completa sería 8 - 8π + 4π√2, que aproximadamente valdría 0,6388 unidades cuadradas.
Nota: corregido el resultado final gracias a un comentario de caleb
2 comentarios:
no es 0,6388?
Tienes toda la razón, caleb, me había equivocado en una cifra.
Gracias.
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