sábado, 30 de enero de 2010

Área entre dos arcos

Enunciado

área entre dos arcos

área entre dos arcos

Lo primero que se debe hacer en un problema de este tipo es, como sabemos que el área sólo depende de un parámetro (el radio), trabajar con un radio fijo igual a 1. Si el radio al final es R, bastará multiplicar lo que hayamos calculado por el factor de escala R para obtener el resultado en general. Bueno, como es un área, tendremos que multiplicar por R2.

Ahora, trazamos el dibujo, dejando dibujados los radios a los centros y a los puntos de intersección. En este caso, el dibujo desvela enseguida cómo hemos de verlo. Se trata de un área formada por dos triángulos equiláteros de lado 1 (o R, si no hemos hecho la reducción oportuna), y cuatro segmentos circulares (en el dibujo hay uno naranja) que cubren un arco desde el centro de las circunferencias de 60 grados, ya que coinciden con el ángulo del triángulo equilátero.

El área del segmento circular hace falta calcularla, de forma que construimos un sector circular uniendo temporalmente el segmento circular y el triángulo equilátero, y después lo restaremos.

El área de todo el círculo es π, por lo que el área del sector será π/6.

El área de cada triángulo equilátero, puesto que su lado es 1, y la mitad es 1/2, su altura medirá, por el Teorema de Pitágoras, √(3)/2, y su área √(3)/4.

Por tanto, el área de un segmento circular es π/6 - √(3)/4. Puesto que son 4, eso hace un total de 2π/3 - √(3). Si añadimos el área de los dos triángulos equiláteros será un total de 2π/3 - √(3) + √(3)/2 = 2π/3 - √(3)/2, que vale aproximadamente 1,228369263.

En realidad, la fórmula será R2*(2π/3 - √(3)/2).

Otra manera de calcularlo es sumar cuatro sectores circulares y restarles dos triángulos equiláteros.