Desigualdad cuadrática

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Antes de responder a esta pregunta, debo decir que la complejidad de este problema me ha hecho retrasar la publicación de nuevos problemas en el blog. La organización que propone los ejercicios da una solución oficial, pero no me acababa de convencer y he estado bastante rato adaptándola.

Entiendo que aún es complicada, pero no encuentro una manera más sencilla de abordar esta desigualdad, así que empezamos con una introducción general.

En primer lugar, cuando nos lanzamos a trabajar con desigualdades, hay que conocer algunas de las más notables, para usarlas como ejemplos y como resultados parciales. en la dirección del Rincón Matemático que indico, podemos encontrar un estudio bastante detallado que aconsejo revisar.

La desigualdad más conocida y útil en este contexto es la de las medias aritméticas y geométricas, que expresada con tres números, indica que, siempre que sean positivos, la raíz cúbica del producto de tres números siempre es menor o igual que su media aritmética. En este caso resulta poco útil, aunque salga el producto de los tres.

La otra desigualdad, clave en este problema es la de las medias potenciales. Si tenemos un número distinto de cero p, la media potencial de grado p de tres números sería ((a^p + b^p + c^p)/3)^(1/p). En particular, si p es 1, se trata de la media aritmética, si es -1, se llama media armónica, y si p es 2, media cuadrática. Pues bien, si tenemos dos medias potenciales de grados p y q, y p es menor que q, la media potencial de grado p es menor que la de orden q. Además, todas las medias potenciales de grado negativo son menores que la media geométrica, y las de grado positivo son todas mayores.

Para acabar este repaso, hay una desigualdad sumamente interesante, que dice que, puesto que la media armónica de tres números es menor que la media aritmética, se tiene que, para tres números cualesquiera, ((x^-1 + y^-1 + z^-1)/3)^-1 ≤ (x + y + z)/3.

Vamos al tema que nos ocupa. Puesto que los elementos de la desigualdad que queremos demostrar son parecidos a una media potencial de orden 2, la convertimos en esa media, de forma que la expresión (a/(1 + ab))² + (b/(1 + bc))² + (c/(1 + ca))² ≥ 3/4 es equivalente a ((a/(1 + ab))² + (b/(1 + bc))² + (c/(1 + ca))²)/3 ≥ 1/4. Puesto que ambos números son positivos, esto es equivalente a la desigualdad que resulta de sacar la raíz a ambos extremos, de forma que deberemos probar que √(((a/(1 + ab))² + (b/(1 + bc))² + (c/(1 + ca))²)/3) ≥ 1/2.

Ahora que tenemos una desigualdad equivalente que es una media cuadrática (potencial de grado 2), sabemos que esa desigualdad es mayor o igual que la media aritmética (potencial de grado uno), de forma que ese primer término podemos demostrar que es mayor o igual que (a/(1 + ab) + b/(1 + bc) + c/(1 + ca))/3. Si conseguimos demostrar que esa expresión es mayor que 1/2 tendremos concluido el razonamiento.

Si hacemos pruebas con números concretos veremos que siempre se da esa expresión, así que parece probable que sea. Sin embargo la expresión no tiene una forma sencilla de transformarla en una media armónica o aritmética. Si utilizamos la condición de que abc = 1, podemos quitar una variable. No conviene hacerlo, porque en ese caso rompemos la simetría que tenemos, pero es la forma más directa que se me ocurre, después de haber probado muchas. La verdad es que se me ocurrió después de substituir una letra por una cantidad fija y buscar la forma de que apareciese una media armónica.

Supongamos que quitamos la c, haciendo que c = 1/ab. La expresión queda (a/(1 + ab) + b/(1 + 1/a) + (1/ab)/(1 + 1/b))/3 = (a/(1 + ab) + ab/(a + 1) + 1/(ab + a))/3. Observa la aparición reiterada de los términos a, ab y 1 en denominadores y numeradores. Después de darle muchas vueltas a la fórmula, observé con cierta sorpresa que (a + ab + 1)*(1/(1 + ab) + 1/(a + 1) + 1/(ab + a)) = a/(1 + ab) + ab/(a + 1) + 1/(ab + a) + 3, ya que basta aplicar la propiedad distributiva, es decir, hacer el producto y agrupar los términos semejantes.

Aquí tenemos la clave de la demostración, ya que (a/(1 + ab) + ab/(a + 1) + 1/(ab + a))/3 = ((a + ab + 1)*(1/(1 + ab) + 1/(a + 1) + 1/(ab + a)) - 3)/3. Ahora sí podemos aplicar la desigualdad de la media armónica, ya que 1/(1 + ab) + 1/(a + 1) + 1/(ab + a) es la suma de esos tres números elevados a -1. Lo que dice esta desigualdad es que ((1/(1 + ab) + 1/(a + 1) + 1/(ab + a))/3)^-1 ≤ (1 + ab + a + 1 + ab + a)/3, es decir, que 3/(1/(1 + ab) + 1/(a + 1) + 1/(ab + a)) ≤ 2*(1 + ab + a)/3. Invirtiendo ambas expresiones (ambos números son positivos), obtenemos que (1/(1 + ab) + 1/(a + 1) + 1/(ab + a))/3 ≥ 3/(2*(1 + ab + a)), es decir, que 1/(1 + ab) + 1/(a + 1) + 1/(ab + a) ≥ 9/(2*(1 + ab + a)).

Por lo tanto la expresión anterior, ((a + ab + 1)*(1/(1 + ab) + 1/(a + 1) + 1/(ab + a)) - 3)/3 es mayor o igual que ((a + ab + 1)*(9/(2*(1 + ab + a))) - 3)/3 = (9/2 - 3)/3 = (3/2)/3 = 1/2, que es exactamente lo que pretendíamos demostrar. Además, la desigualdad se cumple si a = b = c = 1.