Capicúas en base 3

Enunciado

Prácticamente Lluís da una respuesta muy bien razonada, aunque no totalmente válida en los comentarios del enunciado, pero voy a explicarlo un poco.

La idea es que, si escribes todos los enteros en base 3 hasta el 2009 (que se escribe 2202102 en base 3), tendremos todos lo números de una, dos, tres y hasta de seis cifras, y la mayoría de siete.

Habitualmente, el cero no se considera entero positivo, de forma que normalmente no se suele contar con él, aunque podría hacerse, y entonces contaríamos uno más, pues es capicúa de forma trivial, ya que consta de una única cifra.

Los otros dos números de una cifra son capicúas de la misma forma, ya que al leerse al revés son ellos mismos.

Los de dos cifras capicúas tienen las dos iguales, así que únicamente tenemos al 11 y al 22 (el 00 no cuenta como de 2 cifras).

Los de tres cifras capicúas tienen la primera cifra y la última igual, y la del centro da igual, de forma que la primera puede ser 1 o 2, y la del centro puede ser 0, 1 o 2, de forma que tenemos 2*3 = 6 posibilidades.

Los de cuatro cifras capicúas, se pueden escribir conociendo las dos primeras cifras, o las dos últimas. Como la primera debe ser distinta de cero, tenemos dos posibilidades, y otras tres para la segunda, de nuevo 2*3 = 6 posibilidades.

Los de cinco cifras capicúas tienen tres números elegibles. El primer número puede ser 1 o 2, el segundo puede ser cualquiera de los 3 (0, 1 o 2) y también el tercero. El cuarto y el quinto número vienen determinados por los dos primeros. Hay, por tanto, 2*3*3 = 18 diferentes.

Los de seis cifras capicúas tienen tres números elegibles. El primer número puede ser 1 o 2, el segundo puede ser cualquiera de los 3 (0, 1 o 2) y también el tercero. El cuarto, el quinto y el sexto número vienen determinados por los tres primeros. Hay, por tanto, 2*3*3 = 18 diferentes, de nuevo.

Ahora, para los de 7 cifras, hay que tener cuidado, pues deben ser menores que 2202102. Así, tendremos todos excepto los que empiezan por 221 y por 222, sea cual sea su cuarta cifra. Son un total de 2*3 = 6. Como podemos elegirlos con dos posibilidades para la primera cifra, tres para la segunda, la tercera y la cuarta, habrá un total de 2*3*3*3 = 54 capicúas de siete cifras, de los que habremos escrito 48 = 54 - 6.

Por tanto, en la lista que habremos escrito habrá un total de 48 + 18 + 18 + 6 + 6 + 2 + 2 = 100 números capicúas diferentes entre los 2009 primeros en base 3 (101 si contamos el cero).