Polígonos con ángulos enteros
En los polígonos regulares, por su simetría, existe un centro desde el que se pueden trazar segmentos iguales a todos sus vértices (radios del polígono).
Estos radios, que serán tantos como lados y vértices tenga el polígono, dividen al ángulo de 360 grados (completo) central en fragmentos iguales, y forman, junto con los lados, triángulos isósceles.
Si el número de lados es n, el ángulo central del triángulo será 360/n, y, puesto que tiene que sumar 180 con los otros dos, ambos sumarán 180 - 360/n.
Coincide que la suma de dos de estos ángulos es, precisamente, el ángulo que forma cada lado del polígono con el lado adyacente. Por lo tanto, sólo será una cantidad entera de grados si 360/n lo es.
Como el número de lados debe ser al menos 3, y 3 divide a 360, el triángulo será el primero. El ángulo será 180 - 120 = 60.
También 360/4 es un número entero, por lo que en el cuadrado tendremos 180 - 360/4 = 90.
Como 360/5 es 72, en el pentágono 180 - 72 = 108.
Está claro que 360/6 = 60, por lo que en el hexágono 180 - 60 = 120.
El siguiente polígono es el octógono, ya que 360/8 = 45, y el ángulo es 180 - 45 = 135.
En el eneágono, 180 - 360/9 = 140.
En el decágono, 180 - 360/10 = 144.
En el dodecágono, 180 - 360/12 = 150.
En el polígono regular de quince lados, 180 - 360/15 = 156.
En el de 18, 180 - 360/18 = 160.
En el de 20, 180 - 360/20 = 162.
En el de 24, 180 - 360/24 = 165.
En el de 30, 180 - 360/30 = 168.
En el de 36, 180 - 360/36 = 170.
En el de 40, 180 - 360/40 = 171.
En el de 45, 180 - 360/45 = 172.
En el de 60, 180 - 360/60 = 174.
En el de 72, 180 - 360/72 = 175.
En el de 90, 180 - 360/90 = 176.
En el de 120, 180 - 360/120 = 177.
En el de 180, 180 - 360/240 = 178.
Y, por supuesto, el de 360 lados, 180 - 360/360 = 179.
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