sábado, 18 de septiembre de 2010

El gran producto

Enunciado

Este tipo de problemas siempre busca un patrón en las cifras de los productos, en este caso trabajaremos por separado en las dos potencias.

Las potencias de tres siguen un patrón en su última cifra de longitud 4 : 1, 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7. Esto es así porque la última cifra siguiente sólo depende de la última cifra de la potencia anterior, y 1*3 = 3, 3*3 = 9, 9*3 = 27 y 7*3 = 21.

Por lo tanto, si elevamos 3 a cualquier potencia múltiplo de 4, acabará en 1. El número más cercano a 27653 que es múltiplo de 4 se puede sacar dividiendo este número entre 4, que da 6914 y resto 1, es decir, que 27652 es múltiplo de 4, por lo que al elevar 3 a 27652 acaba en 1, y al elevarlo a 27652 acabará en 3.

Para las potencias de 7 podemos hacer algo similar, ya que 1*7 = 7, 7*7 = 49, 9*7 = 63, 3*7 = 21, volvemos a tener un ciclo de cuatro posibles terminaciones, 1, 7, 9, 3 (curiosamente, son las mismas). Ahora la potencia que buscamos es 79578, que dividida entre 4 da 19666 y resto 2. De ahí deducimos que la potencia 79578 acaba en 9.

El producto de estos dos números acabará en 7, debido a que 3 por 9 acaba en 7.