La altura misteriosa

Enunciado

Triángulo y semicircunferencias

Como cuentan en los comentarios al enunciado, la forma de dar las longitudes del triángulo es en realidad una pista sencilla. Si sabemos las longitudes de las semicircunferencias, en centímetros, (3π, 4π y 5π) una circunferencia completa mediría el doble (6π, 8π y 10π), y los radios de estas circunferencias serían, respectivamente, 3, 4 y 5 centímetros. Puesto que los lados del triángulo son los diámetros de las circunferencias, deben medir 6, 8 y 10 centímetros. Más difícil es calcular la altura del ángulo recto sobre la hipotenusa.

Altura sobre la hipotenusa

Si nos fijamos en un triángulo rectángulo cualquiera, la altura lo parte en otros dos triángulos rectángulos que, por tener un ángulo en común cada uno de ellos con el grande, son semejantes a él.

Usando esa figura se puede razonar de diversas maneras para calcular la altura. Voy a proponer aquí una forma bastante original que es muy útil para otros problemas similares.

Tenemos que usar dos triángulos semejantes al que tenemos y que formen una figura como la de la imagen, es decir, que el cateto pequeño de uno de ellos coincida con el grande. Una forma de lograrlo es similar a conseguir un denominador común, podemos multiplicar el triángulo por dos cantidades como 3 y 4, para conseguir el triángulo (18, 24 y 30) y el triángulo (24, 32 y 40). Si unimos los catetos correspondientes, tendremos que la figura será un triángulo cuyos lados miden (30, 40 y 18 + 32 = 50). Eso sería semejante a la que queremos, y su altura mediría 24. Ahora, lo reducimos a la escala que queremos, que es, 6, 8 y 10. Si nos fijamos, por ejemplo, en la hipotenusa, el factor por el que tenemos que dividir es 5, así que la altura medirá exactamente 24/5 = 4.8.