Una ecuación complicada

Enunciado

En una ecuación con raíces de tercer grado no podemos aplicar la misma estrategia que en una con raíces de segundo grado. Despejar alguna de las dos raíces y elevar (en este caso, al cubo) nos causará más problemas, ya que de nuevo aparecerán dos términos con raíces de tercer grado. Por si no lo sabías, el cubo de la suma tiene nada menos que cuatro términos.

De alguna manera, debemos eliminar una de las dos raíces antes de tratar de elevar la otra. El método más conveniente es por substitución, es decir, como hacen en uno de los comentarios. Tomamos la raíz más sencilla, y la substituimos por una variable.

Así, tomando x^(1/3) = T, o, lo que es lo mismo, x = T³. El otro término quedaría como (1729 - T³)^(1/3) al substituir la x, por lo que la ecuación pasaría a ser (1729 - T³)^(1/3) + T = 19.

Ahora sí que podemos quitar la única raíz mediante la estrategia de despejar y elevar, así que tendríamos (1729 - T³)^(1/3) = 19 - T, y elevamos al cubo. Hay que tener cuidado con los cuatro términos que obtenemos. Elevando, 1729 - T³ = 6859 - 1083T + 57T² - T³.

A continuación, pasamos todos los términos de este polinomio al mismo lado y tratamos de factorizarlo, observando que el término de tercer grado desaparece: 57T² - 1083T + 5130 = 0.

Como todos los números son múltiplos de 57, la ecuación queda T² - 19T + 90 = 0, cuyas soluciones son, aplicando la conocida fórmula de la ecuación de segundo grado, 10 y 9.

Pero esos números son los valores de T, que recuerda que era x^(1/3), con lo que ahora hay que calcular x = T³, en nuestro caso, 729 y 1000.

Así que esas son las dos soluciones a la ecuación inicial, 729 y 1000.