Un número de cuatro cifras

Enunciado

La idea general es plantear el problema como una ecuación diofántica (con soluciones enteras) combinada con desigualdades (que las cifras sean válidas). Tendemos a plantear estas ecuaciones usando cifras aisladas, con lo que habitualmente nos liamos bastante si hay cuatro, como es el caso. Al menos, a mí me pasa.

Este problema en realidad busca pares de cifras, es decir, que podemos llamar x al primer par de cifras e y al siguiente. Sabemos entonces que x está entre 10 y 99, y que y está entre 0 y 100.

Con esta premisa, tenemos que el número de 4 cifras es 100x + y, y cumple 100x + y = x² + y² - y. Si agrupamos incógnitas, tenemos -x² + 100x = y² - 2y. Es tentador ver en este segundo extremo el cuadrado de una resta. Vamos a añadirle 1, y obtenemos -x² + 100x + 1 = y² - 2y + 1 = (y - 1)². Para facilitar la escritura, llamemos a y - 1 = z.

Tenemos que -x² + 100x + 1 = z². Si lo escribimos como una ecuación de segundo grado, x² - 100x + z² - 1 = 0, en la que los coeficientes son 1, -100 y z² - 1. Esta ecuación tiene, para algún valor de z, soluciones enteras entre 10 y 99, luego su discriminante (lo que hay dentro de la raíz) será un cuadrado perfecto.

Es decir, que x = (100 ± √(10000 - 4(z² - 1)))/2. Dividiendo por 2 ambos sumandos, e introduciendo el 2 en la raíz como 4, tenemos que x = 50 ± √(2500 - z² + 1) = 50 ± √(2501 - z²). Si x es un entero, 2501 - z² debe entonces ser un cuadrado perfecto, llamémosle t². Por tanto 2501 = z² + t².

Así que si conseguimos 2501 = z² + t², y = z + 1, y x = 50 ± t. Vamos a comprobar cómo se puede descomponer 2501 en la suma de dos cuadrados perfectos (recuerda que no disponemos de calculadora durante la prueba). En realidad uno de los dos cuadrados debe acumular más de la mitad de 2501, así que el mayor debe estar entre 35 y 50. No veo otro remedio que preparar una tabla de valores de los cuadrados entre 35 y 50, y comprobar si la suma cuadra.

Parece una tarea complicada, pero no lo es tanto si pensamos que los cuadrados se pueden lograr sumando impares, es decir que, tras calcular 35² = 1225, podemos encontrar 36² sumando sólo 1225 + 71 = 1296, luego 1296 + 73 = 1369, etcétera (observa que 71 = 35*2 + 1).

El caso es que después de un rato de cálculo manual y comprobaciones (son 15 números, pero hay que sacar raíces de las diferencias, aunque sea mentalmente), sólo encuentro dos posibles resultados para 2501 = 50² + 1² = 49² + 10² (precisamente los dos últimos de mi tabla).

Eso significa que hay cuatro posibilidades. Vamos a detallarlas.

Si z = 50 y t = 1, x = 51 ó 49, e y = 51. De aquí obtenemos el 5151 y el 4951.

Si z = 1 y t = 50, x = 100 ó 0 e y = 2. Ninguno de los dos resultados es válido, ya que en un caso tenemos cinco cifras y en otro, una (en realidad, 0002 podría valer si no se mencionase en el enunciado que no empieza por cero).

Si z = 49 y t = 10, x = 60 ó 40, e y = 50. De aquí obtenemos el 6050 y el 4050.

Si z = 10 y t = 49, x = 99 ó 1, e y = 11. De aquí obtenemos el 9911 y un número no válido, de tres cifras, el 0111.

Resumiendo, los números pueden ser 5151, 4951, 6050, 4050 y 9911. Se comprueba que los cinco cumplen la condición pedida.