Plantando árboles

Enunciado

Este es un complejo problema de combinatoria, que puede usarse como modelo de muchos de este estilo. Es conveniente ensayar las ideas en un modelo más pequeño. Para empezar, plantar 5 hayas entre 12 árboles parecen números demasiado grandes para razonar. Después de razonar sobre cantidades menores, podemos lanzarnos al problema completo.

He probado a plantearlo de diferentes formas, pero en cualquier caso resulta bastante complicado. En la solución oficial distinguen dos formas de abordarlo: pensar en que todos los árboles son distinguibles o no. A mí no me resulta fácil pensar en que los árboles se puedan distinguir o numerar, así que supondré que todas las hayas son iguales, y que los que no lo son también son iguales entre sí. Así, tendremos una cantidad de situaciones equiprobables que supone permutaciones de 12 elementos dividido por permutaciones de 7 y permutaciones de 5 (en combinatoria, 12 sobre 5 o combinaciones de 12 elementos de los que se extraen 5).

La cantidad de combinaciones que eso proporciona es grande, pero confío en poder simplificar factores antes de dar la solución final.

Vamos a buscar los casos favorables, es decir, aquellos en que no hay dos hayas consecutivas, que creo que van a ser menos.

Si considero situados los siete árboles que no son hayas, quedan entre estos seis huecos, además de las posiciones de delante y la de detrás de ellos.

En esos huecos hay que plantar las cinco hayas, pero cada una en uno distinto, por lo que vamos a elegir cinco huecos entre los ocho, es decir, 8 sobre 5 o 8*7*6/(3*2) = 8*7.

La probabilidad que buscamos será, entonces, 8*7/(12!/(7!*5!)) = 8*7*5*4*3*2/(12*11*10*9*8) = 8*7*5*3/(12*11*10*9) = 8*7*3/(12*11*2*9) = 8*7/(12*11*2*3) = 7/(11*3) = 7/99.

Por lo tanto, la probabilidad de que no haya dos hayas juntas es exactamente 7/99, aproximadamente 7,07%.