Círculo y cuadrado

Enunciado

Un triángulo

La primera solución que voy a dar es similar a algunos comentarios que se han publicado en el enunciado. La idea, como siempre, es completar el dibujo del enunciado con unas pocas líneas, que habitualmente representan radios de una circunferencia, y que, evidentemente, miden lo mismo. A veces, es necesario trazar lados o diagonales de un cuadrilátero, pero en este caso sólo necesitamos completar la paralela a un lado.

Si nos fijamos en el triángulo señalado en rojo, formado por el centro de la circunferencia, un punto de corte, y la mitad de el lado del cuadrado que corta a la circunferencia, es evidente que es rectángulo. Y su hipotenusa es un radio de la circunferencia. Y uno de sus catetos mide 8 unidades, pues la mitad del lado del cuadrado. El otro cateto es desconocido, pero como su prolongación hasta el lado opuesto del cuadrado es también un radio de la circunferencia, sabemos que ese número, añadido al radio, vale 16 unidades.

Representando los tres valores en función de una variable R, el radio, y conociendo el teorema de Pitágoras, tenemos que 8² + (16 - R)² = R². Quitando paréntesis, esta ecuación queda como sigue: 64 + 256 - 32R + R² = R². Podemos, evidentemente, simplificar el cuadrado de R, y pasar el único término que lleva R al otro lado, de donde 320 = 32R, por lo que R = 10 unidades.

Dos triángulos

Hay otra solución que requiere un rodeo que nos puede enseñar varias técnicas interesantes. Observad el dibujo de los dos triángulos que se han trazado en el interior de la circunferencia. Uno de ellos, el primero, es también claramente rectángulo, y sus catetos miden 16 y 8. La hipotenusa se puede calcular como la raíz cuadrada de 320.

El segundo triángulo es semejante al primero. Es evidente que comparten su ángulo más agudo, pues la antigua hipotenusa es ahora uno de los lados cortos (aún no los llamaremos catetos), y el antiguo cateto de 16 unidades, más alargado, es ahora su lado mayor. Ver que es rectángulo puede ser más difícil, aunque he trazado una línea amarilla que te ayudará a verlo. Observa que, por ser radio de la circunferencia, esta línea divide al triángulo en dos triángulos isósceles diferentes. Si buscas los ángulos que son iguales, y miras cuánto suman entre los cuatro, te darás cuenta de que el ángulo que divide la línea amarilla es un ángulo recto. Ésto vale siempre que tengamos un triángulo inscrito en una circunferencia, cuyo lado sea un diámetro. Siempre será rectángulo.

Bueno, pues por ser semejante, la razón de semejanza será raíz de 320 a 16, y por eso, su diagonal, que es el diámetro de la circunferencia mide raíz de 320 por la razón de semejanza, es decir, 320/16 = 20. Con lo que el radio mide 10.