Polinomio y números impares

Enunciado

Cuando propuse este problema, estaba pensando en el enunciado general de un problema de la Olimpiada Matemática Española, con el que estaba trabajando en ese momento (pero aún no había publicado), de forma que una solución, evidentemente, sería particularizar la solución correspondiente.

Como el concurso interno de mi instituto no pretende tener tanto nivel, especialmente en su fase cerrada, pensé en una solución más sencilla para este caso particular, que ahora os detallaré.

Si p(x) es un polinomio de coeficientes enteros, y p(2) es impar, es evidente que p(2m) es impar para cada valor entero de m, ya que todos los términos que usen una potencia de x en p(x) producen un sumando par para p(2), luego su término independiente es impar, de forma que para p(2n) sucederá de forma análoga, y p(2m) es. por tanto, impar.

¿Qué sucederá para p(2m + 1)? Tenemos que, en p(x) la suma de todos los coeficientes de las potencias mayores o iguales que 1 de x es par, ya que el término independiente es impar y el resultado de p(1) es impar. Ahora bien, si x es impar, para todo valor entero n, xⁿ es impar, es decir, que xⁿ - 1 es par. Suponiendo que el término correspondiente del polinomio es a_nxⁿ = a_n + a_n(xⁿ - 1), es decir, a_n más un número par. Por esto, si x es un entero impar, p(x) es igual a la suma de todos los coeficientes, más una suma de números pares, más un término independiente. Como ya hemos deducido, se trata de una suma de números pares más un número impar, luego es impar.

Por tanto, para todo valor entero x, p(x) es impar. Lo que es tanto como afirmar que nunca puede dar 0, es decir, no puede p(x) tener soluciones enteras.

La otra solución, particularizada del problema original, sería pensar, por reducción al absurdo, que si p(x) tiene una raíz en t, p(x) = q(x)(x - t), con q(x) otro polinomio de coeficientes enteros, y que si t es entero, o es par o es impar. Si es par, p(2) = q(2)*(2 - t), que es par por serlo 2 - t, y, si t es impar, p(1) = q(1)*(1 - t) que es par por serlo 1 - t. Luego o bien p(1) o bien p(2) es par, en el caso de tener p(x) raíces enteras. Esta solución es, evidentemente, mucho más elegante y más generalizable.