domingo, 22 de junio de 2008

Cuadriláteros circunscritos

Enunciado

Como comenta nuestro anónimo colaborador, este enunciado es relativamente conocido como Teorema de Pitot, y su demostración puede encontrarse fácilmente en Internet si se realiza una búsqueda por este nombre.

Cuadrilátero circunscrito

Cuadrilátero circunscrito

Pero, planteado como ejercicio, podemos enfrentarnos a él como un problema de geometría, y realizar un dibujo como el que acompaña a estas líneas para razonar sobre él.

En realidad, el cuadrilátero con la circunferencia inscrita puede verse como un conjunto formado por una circunferencia y ocho tangentes (que casualmente están alineadas dos a dos), que parten de cuatro puntos externos a la circunferencia.

Estudiando la simetría de las tangentes, podemos concluir fácilmente que las longitudes de los pares de tangentes que parten de un mismo punto son idénticas, y nombrar las diferentes longitudes con cuatro letras, por ejemplo, a, b, c y d.

Evidentemente, la longitud de cada lado del triángulo original, en ese caso, está formada por la suma de dos de estas cantidades, pero si se suman las longitudes de un lado con la de su opuesto, descubriremos que en cualquier caso el resultado es a + b + c + d, sean cuales sean los lados escogidos. Por tanto, la suma de las longitudes de dos lados opestos es idéntica a la de los otros dos, como queríamos demostrar.

3 comentarios:

zeke dijo...

Hola Roberto, me gustaría plantearte un problema que debe ser muy sencillo, pero me está "rayando" bastante. De hecho estoy bloqueado, a ver si tú puedes solucionarmelo.

"La suma de las dos cifras de un nº es 9. si las cambiamos de orden, resulta otro nº que es 9 unidades menor que el original. ¿Qué dos cifras son?"

Se resolvería por sistemas, pero no sé cómo plantear la segunda ecuación, siendo la primera, obviamente x+y=9 . Me ayudas, por favor?

Proble Mático dijo...

La otra ecuación se plantea sabiendo que una cifra son decenas y la otra unidades, y que al dar la vuelta cambia su papel.
Dicho de otra forma, el primer número es 10x + y, y el segundo, 10y + x. La ecuación podría quedar como sigue: 10x + y = 9 + 10y + x.
¿Vale?

Zeke dijo...

Perdona que no pasara por aquí desde hace tiempo, problemas de conexion.. pero muchas gracias por tu ayuda!!!

Tengo un par de problemas más por ahi, a ver si me puedes echar una mano. Mil gracias!