El área del más pequeño

Enunciado

Hay varias formas de abordar este problema. Desde luego, la que sugiere el comentario de anónimo fue la primera que se me ocurrió, por eso puse la pista de que se busque ángulos iguales. Ésa es la primera que pondré. Pero la que doy a continuación, obra de uno de mis alumnos, es sorprendentemente sencilla.

Semejanza

Buscando ángulos iguales, podéis observar los que hay coloreados en la figura. He pintado del mismo color los que tienen que ser iguales. Claro, que en este caso, los triángulos enfrentados, pequeño y grande, son semejantes, es decir, están dibujados a escala. Si nos fijamos en la base que ambos tienen pegada a los lados opuestos del cuadrado, veremos que la escala es un factor 2 (uno tiene de base 3, y el otro 6). Puesto que las alturas de ambos que corresponden a esas bases, se unen en el vértice y se pueden sumar, pues están alineadas, el segmento resultante tendrá una longitud de 6. Como una es doble que la otra, sus tamaños serán proporcionales a 1 y a 2, y sumarán 6, es evidente que deben medir 2 y 4. Es decir, la altura del pequeño mide 2, luego su área será 3*2/2 = 3 unidades cuadradas.

Cuadriculado

La otra forma de resolver el problema que mencionaba al principio, consiste en dividir el cuadrado en 9 cuadrados más pequeños. Es sencillo observar que la diagonal es diagonal de los tres cuadrados, es decir, que pasa por el vértice correspondiente al primer cuadradito que atraviesa, pero está claro que la otra línea, puesto que llega a la mitad del cuadrado, atraviesa dos cuadrados antes de pasar por un vértice, por lo que también pasa por el vértice de este cuadradito. Luego el punto de corte (vértice del triángulo coloreado), está a dos unidades del lado, una tercera parte del total. A partir de eso se deduce fácilmente el área. Este método de resolución es una versión reducida de la geometría analítica, que los alumnos de esta edad aún no han tratado.