Expresiones misteriosas

Enunciado

Efectivamente, como dice nuestro anónimo comentarista, no se puede convertir una raíz cuadrada de una suma en una suma de las raíces cuadradas, de la misma forma que no podemos elevar al cuadrado una suma sumando los cuadrados de los términos.

Miradlo así: 9 + 16 = 25, pero sus raíces cuadradas, 3 y 5, suman 8, no 5. De la misma manera, 3 + 2 = 5, pero 9 + 4 = 13, no 25.

¿Qué podemos hacer? El truco en estos casos, para sacar una raíz cuadrada, es trabajar con el cuadrado de la suma, es decir, que como tenemos dos de los tres términos (el cuadrado del primero y el cuadrado del segundo), tendremos que obtener de alguna forma el doble del producto del primero por el segundo. La solución más socorrida en una igualdad es añadir a ambos lados de la igualdad lo que nos haga falta, una vez que lo tenemos claro.

Es decir, que la igualdad x² + (1/x)² = 4, si queremos convertirla en el cuadrado de una suma, hace falta en el lado izquierdo 2x(1/x) = 2, es decir, que podemos añadir lo mismo a ambos extremos, con lo que queda x² + 2x(1/x) + (1/x)² = 4 + 2.

Claro, que ahora sí que tenemos el cuadrado de una suma, con lo que tendríamos que (x + (1/x))² = 6, de donde la expresión x + 1/x sería, efectivamente, la raíz de 6 (tanto la positiva como la negativa).

Este problema es muy similar a un problema de bachillerato que ya se comentó en este blog hace cierto tiempo, Fracciones enteras.