Iluminando cuadros

Enunciado

Si tratamos de repartir 11 lámparas sobre 4 cuadros, encontramos problemas cuando tengamos puestas 8, ya que sólo tenemos 3. Necesitamos una más para que la división sea exacta, y ahí está la clave. Cada vez que situamos una lámpara entre dos cuadros "vale por dos", es decir, la contamos en ambos cuadros. De esta forma, colocando una única lámpara entre dos cuadros, dispondremos de todos los cuadros iluminados por 3 lámparas. La serie podría ser 3 - 0 - 3 - 0 - 2 - 1 - 2, o por ejemplo 3 - 0 - 2 - 1 - 2 - 0 - 3.

Si buscamos cómo repartir 13 luces entre 4, pasa algo más grave: si ponemos las 3 que corresponden a cada cuadro, no tendremos suficientes para poner en medio, así que sólo pondremos 2 en cada cuadro, y ocuparemos con las 5 restantes los 3 puntos entre cuadros, y situaremos las otras 2 en los extremos. Así, tenemos 3 - 1 - 2 - 1 - 2 - 1 - 3. Observamos que a cada cuatro le corresponden 4 luces.

Con 7 y 23 pasa algo similar. Necesitamos 5 lámparas más, de forma que repartimos 14, que es exacto, y de las 9 restantes, 5 las ponemos en los huecos, y 4 las usamos en los cuadros que no tienen suficientes lámparas para llegar a 4, ya que las de los puntos medios cuentan doble y en total será como si tuviésemos 28. Un posible reparto podría ser 3 - 1 - 2 - 1 - 3 - 0 - 3 - 1 - 2 - 1 - 2 - 1 - 3.

Con 8 y 11, de nuevo repetimos la idea. Faltan 5 para llegar a 16, de forma que usamos 5 en los puntos medios, y los 6 restantes los usamos para llegar a 2 en aquellos cuadros que no tengan suficiente. Como hay 7 puntos medios, podemos hacerlo de muchas maneras. Una podría ser 1 - 1 - 0 - 1 - 1 - 0 - 1 - 1 - 0 - 1 - 0 - 1 - 1 - 0 - 2. Observa que, como en realidad situamos 5 lámparas en posición doble, el reparto sale perfectamente, ya que 16 (11 + 5) sí es divisible entre 8.

Bueno, ahora la regla general. Si tenemos que repartir X lámparas entre Y cuadros, suponiendo que X es mayor que Y. Se realiza la división entera, obteniendo un cociente C y un resto R. Si el resto es 0, la división es exacta y el reparto es sencillo. En caso contrario, faltan Y - R ĺámparas para que la división sea exacta (Y - R es menor que Y, ya que R es mayor que 0). Situando exactamente Y - R lámparas en los puntos medios entre dos cuadros (hay Y - 1 puntos medios, es decir, siempre es posible situarlas), el resto se podrán repartir de forma que a cada cuadro le correspondan C + 1 cuadros, ya que el total efectivo de lámparas será X + Y - R, que es divisible entre Y y da de cociente C + 1.