El número imposible

Enunciado

Como el título indica, es imposible que un número sea cuadrado de otro número y sus cifras sumen 12.

Hay varias maneras de verlo. Por un lado, si un número es múltiplo de 3, su cuadrado es múltiplo de 9, de forma que la suma de sus cifras debería ser múltiplo de 9. Si no es múltiplo de 3, su cuadrado tampoco lo es, de forma que la suma de sus cifras no debe ser múltiplo de 3. Como 12 es múltiplo de 3, pero no de 9, es imposible que sea cuadrado de un número entero.

Otra forma de entenderlo, más profunda, es que las cifras indican el número que multiplica a una potencia de 10, de forma que un número cuyas cifras son abcd, por ejemplo, es a*1000 + b*100 + c*10 + d. Como todas las potencias de 10 son una unidad más grande que un múltiplo de 9, resulta que abcd = a + b + c + d + n, donde n es un múltiplo de 9. Más o menos, eso quiere decir que si dividimos el número abcd entre 9, da el mismo resto que a + b + c + d (por eso funciona el criterio de divisibilidad por 9).

Entonces, podemos saber el resto al dividir entre 9 de cualquier número sumando sus cifras, y hallando el resto correspondiente. El de 12 es 3. Si elevamos un número al cuadrado, si originariamente tenía un resto 0, su cuadrado también tiene 0, si tenía 1, su cuadrado también tiene 1. Si tenía 2, su cuadrado tiene 4. Si tenía 3, su cuadrado tiene 0. Si tenía 4, su cuadrado tiene resto 7. Si tenía 5, también resto 7. Si tenía 6, tiene resto 0. Si tenía 7, su cuadrado tiene resto 4. Por último, si tenía 8, su cuadrado tiene resto 1. Como veis, es imposible que el cuadrado de un número tenga de resto 2, 3, 5, 6 u 8. Evidentemente, esto hace que nuestro número no pueda ser un cuadrado perfecto.