domingo, 31 de mayo de 2009

Algunos números son así

Enunciado

Este problema es más difícil de lo que normalmente se piensa. La tentación de aplicar fórmulas es fuerte, y, a veces, si no se tienen las cosas claras, puede salir mal.

El método de las fórmulas, es, desde luego, el más directo. Números que se escriban con tres cifras del 0 al 9, todas distintas, hay 10*9*8 = 720, ya que tenemos 10 posibilidades para escribir el primero, pero sólo nueve para el segundo (ya que no podemos repetir), y sólo 8 para el tercer dígito. Lo que pasa es que aquí tendríamos escritos todos, también aquellos en los que la primera cifra es mayor que la tercera, y aquellos en los que hay un cero en el primer lugar. Para quitar los que la primera cifra es mayor que la tercera, debemos aprovechar la simetría de la situación, antes de quitar los que empiezan por cero, ya que al ser las dos cifras distintas, habrá 720/2 = 360 en los que sea mayor y 360 en los que sea menor, que son los que nos interesa. Aquí tendremos todos los que empiezan por cero, ya que la primera cifra en ese caso siempre es menor que las otras. Hay exactamente 9*8 = 72 en los que hay un cero en primer lugar (los otros dos pueden ser cualquier número), así que, como afirmaba uno de los comentarios, hay 360 - 72 = 288 números de los que nos piden.

Otro método sería el recuento paciente. Si consideramos los números que empiezan por 1, deben acabar por una cifra del 2 al 9 (8 posibilidades), y la cifra central puede ser cualquiera, excepto el 1 y la usada como tercera. En total, 8*8 = 64. Si empieza por 2, la última cifra puede ser cualquiera entre 3 y 9 (7 posibilidades), y la central puede ser cualquiera de las otras 8. en total, 7*8 = 56. Si empieza por 3, de la misma forma, tenemos 6*8 = 48 posibilidades, 40 si empieza por 5, etc. En resumen, hay que sumar 64 + 56 + 48 + 40 + ... + 8 = (8 + 64)*8/2 = 72*4 = 288 (observa que es una sucesión aritmética).