domingo, 3 de mayo de 2009

Igualdad geométrica

Enunciado

En todos los problemas de geometría hay que estudiar sobre varios dibujos de varias posiciones diferentes las relaciones que se dan. Aunque aquí, por razones de espacio, sólo pongamos uno de los dibujos, debéis trazar varios en posiciones distintas, para comprobar después vuestras hipótesis.

Triángulo inscrito

Triángulo inscrito

Ahora, como trazamos una bisectriz, los ángulos que divide este segmento son iguales, lo que tiene aquí una importancia vital. Así, en nuestro dibujo, PAB = CAP, como ángulos.

También debemos observar que en este dibujo sale uno de vuestros viejos conocidos, el arco capaz. En efecto, el arco entre C y A está incluido tanto en ABC como en AQC, por lo que ambos ángulos son iguales.

Ahora que hemos observado algunas relaciones que se dan en el dibujo, vamos a ver cómo afecta eso a lo que hemos de probar: CA*PB = CQ*AP. No siempre, pero en muchas ocasiones es más sencillo comprobar fracciones que productos, y esta expresión se puede escribir como fracción de la forma CA/CQ = AP/PB, que se cumpliría de inmediato si los triángulos ABP y AQC fuesen semejantes (cuidado: en ocasiones se puede dar el cociente sin que dos triángulos sean semejantes). Y en este caso, lo son, pues dos de los ángulos de esos triángulos son iguales (PAB = CAP = CAQ, y ABC = ABP = AQC, como ya hemos visto), por lo que los lados son proporcionales para algún factor de proporcionalidad k, de forma que AC = k*AP, AQ = k*AB, y CQ = k*PB. En particular, CA/CQ = (k*AP)/(k*PB) = AP/PB, como queríamos demostrar.