lunes, 18 de mayo de 2009

Soluciones pares

Enunciado

Las raíces de una ecuación polinómica está claro que cumplen la ecuación, y si queremos averiguar algo de ellas, es evidente que necesitamos transformar esta ecuación. Sin embargo, cuando tenemos información de las raíces y queremos obtener la ecuación, o alguno de los coeficientes, necesitamos relacionar las raíces con los coeficientes.

En este caso, además de plantearnos complicados razonamientos con la ecuaciones de segundo grado y su solución, podemos recurrir a las fórmulas de Cardano-Vietta.

En el caso de las ecuaciones de segundo grado, podría leerse de la siguiente manera: supongamos que tenemos dos números, enteros y pares, s y t, que son raíces de una ecuación de segundo grado x2 - b*x + 80 = 0. Los números s y t son también solución de la ecuación (x - s)(x - t) = 0, es decir, x2 - (s + t)x + st = 0. Como el coeficiente del término de segundo grado es cero, restando las dos ecuaciones, obtendríamos una ecuación de primer grado, que debe tener dos soluciones cero, es decir, que obtenemos 0 = 0, o, dicho de otra forma, se trata de un par de ecuaciones con los mismos coeficientes. De aquí, tenemos que st = 80 y que b = s + t (fórmulas de Cardano-Vietta).

El caso es que tenemos dos números pares cuyo producto es 80. Supongamos que el primero es 2n y el segundo 2m, tenemos que 80 = 4nm, es decir, nm=20. Como n y m son enteros, tenemos las posibilidades 1*20, 2*10 o 4*5 (también vale cambiar de orden n y m, y cambiarles de signo). Por tanto, b puede ser 2 + 40 = 42 (o -42), puede ser 4 + 20 = 24 (o también -24), y por último puede ser 8 + 10 = 18, o su opuesto -18. Así que tenemos esas seis posibilidades.