domingo, 10 de mayo de 2009

Los triángulos enteros

Enunciado

Los comentarios a este enunciado me han hecho ver el problema desde otra perspectiva. En realidad se trata de un problema sencillo pero interesante. La condición clave es que los tres lados tiene que sumar doce (o, según cómo se interprete, menos de 12, como dice seba2468) y ser enteros. Pero también tienen que formar un triángulo.

La condición para formar un triángulo es muy sencilla: los dos lados más cortos tienen que sumar más que el lado largo. La razón es evidente: si fuesen más cortos (o incluso iguales) que el lado largo, sería imposible unir sus extremos y construir un triángulo.

De esta forma, si el lado largo mide 6 o más, es imposible construir un triángulo.

Si mide 5, puede haber un lado de 5 y otro de 2, o bien uno de 4 y otro de 3 (la solución es algo más amplia si se interpreta que puede sobrar parte del segmento después de hacer el triángulo).

Si mide 4 el más largo, como los otros dos deben sumar 8 (para que el total sea 12), la única solución es que ambos midan 4.

En resumen, sólo hay tres casos: 5 - 5 - 2, 5 - 4 - 3 y 4 - 4 - 4. Un isósceles, un escaleno (rectángulo), y un equilátero. Salvo que se haga la interpretación más flexible de que se puede dejar sin usar parte del segmento.