sábado, 16 de mayo de 2009

El rombo inscrito

Enunciado

Primer intento de rombo inscrito

Primer intento de rombo inscrito

Casi todo el mundo, al pensar en un rombo inscrito en un rectángulo, piensa en la figura simétrica que aparece en la primera imagen, la de la derecha, donde el rombo se construye uniendo los centros de los lados del rectángulo. Desde luego, es el mayor rombo simétrico que podemos construir dentro de un rectángulo, pero no es realmente el mayor de los rombos. A veces cuesta imaginar cómo podríamos hacerlo más grande, pero si queremos pensar en ello, podemos imaginar qué pasaría si movemos un poco los vértices del rombo por los lados del rectángulo. ¿Aumentará su área, o disminuirá?

Veamos, en la primera imagen el área del rombo es igual a la del rectángulo menos los cuatro triángulos rectángulos que quedan fuera. Si tenemos cuidado, podemos formar con ellos otro rombo, o bien la mitad del rectángulo, con lo que sin hacer cálculos, sabemos que su área es la mitad del rectángulo inicial, 337,5 centímetros cuadrados. También se puede calcular usando la fórmula del área de rombo.

Mayor rombo inscrito

Mayor rombo inscrito

Si forzamos la situación al máximo, podemos poner dos vértices del rombo sobre dos de las esquinas del rectángulo, como aparece en el segundo dibujo. En este caso, sólo quedan fuera del rombo dos triángulos rectángulos, que pueden entre los dos formar un rectángulo, cuya área sería fácil de calcular si supiésemos lo que mide el lado del rombo. Pero sabemos que un rombo tiene todos los lados iguales, y uno de ellos es la hipotenusa del triángulo rectángulo externo, y otro es lo que le quitamos al lado mayor del rectángulo. Es decir, que uno de los catetos mide 15, el otro mide 45 - x y la hipotenusa mide x, suponiendo que x sea el lado del rombo. Del Teorema de Pitágoras obtenemos que 152 + (45 - x)2 = x2. Desarrollando, llegamos a que 225 + 2025 - 90x + x2 = x2, por lo que 2250 = 90x, es decir, que x = 25.

Así, los triángulos tienen dos catetos de 15 y 20, por lo que el área conjunta de los dos es 300, es decir, que el rombo tiene un área de 375 centímetros cuadrados, 37,5 centímetros cuadrados más que el anterior.

Como dice Lluís en los comentarios, el rombo es el mayor posible, ya que su diagonal larga es el mayor segmento que podemos construir en un rectángulo, su diagonal.