Triángulo sombreado

Enunciado

Este problema tiene una dificultad bastante alta para este nivel. En primer lugar, es un problema que puede inducir a equívocos por la similitud entre los ángulos de medio triángulo equilátero, del triángulo que trazamos sobre las figuras y del triángulo objetivo, que no son iguales aunque sí muy próximos. En segundo lugar, uno de los elementos necesarios tiene una medida complicada de calcular, y cuyo valor es un número irracional (esta dificultad se puede eliminar si confiamos en la calculadora, aunque es fácil cometer errores).

Detalle del triángulo sombreado

Como en todos los problemas en los que aparecen zonas sombreadas, es conveniente expresar sus áreas como suma o resta de otras zonas. En este caso, el triángulo sombreado se puede expresar como la diferencia entre el triángulo que se forma entre el lado del cuadrado más próximo al triángulo equilátero y el vértice del triángulo equilátero, y la parte del triángulo contenida en el interior del propio triángulo equilátero (ver figura). El área del triángulo mayor es evidente, ya que es claramente semejante al triángulo mayor (que es rectángulo y sus catetos miden 16 y 8), y la razón de semejanza es 2. Es decir, el triángulo grande mide de área 8*4/2 = 16 unidades cuadradas. El verdadero problema está en calcular el área del triángulo pequeño.

Vamos a resolverlo usando dos métodos distintos que ya se deben conocer en segundo ciclo de la ESO. Básicamente, Lluís los ha citado en sus comentarios.

El primer método consiste en subdividir el triángulo que necesitamos en dos triángulos rectángulos usando la altura. Supongamos que esa altura mide x unidades y es, evidentemente, perpendicular a la base. Como el triángulo rectángulo que queda a la derecha es, evidentemente, semejante al grande, su base medirá el doble que su altura, es decir, 2x. Como en total ese segmento (que era base del triángulo equilátero) mide 8, el otro segmento mide 8 - 2x. Ese otro triángulo (el de la izquierda) tiene un ángulo de 60 y otro de 90, es decir, es semejante a medio equilátero, por lo que su hipotenusa mide el doble que el cateto corto, es decir, 16 - 4x. Ahora es cuando podemos calcular el valor de x, puesto que, al ser rectángulo, cumple el Teorema de Pitágoras, y (16 - 4x)² = (8 - 2x)² + x².

Desarrollando esta igualdad, se tiene la ecuación 11x² - 96x + 192 = 0, que es de segundo grado. Aunque mantendré las expresiones algebraicas a partir de aquí se podría manejar todo con calculadora. El discriminante de la ecuación es 96² - 4*11*192 = 3²*2¹⁰ - 11*3*2⁸ = 3*2⁸(3*2² - 11) = 3*2⁸. Es decir, que las soluciones serán (96 ± √(3*2⁸))/22 = (3*2⁵ ± 2⁴√3)/22 = 16*(6 ± √3)/22 = 8*(6 ± √3)/11. Con calculadora, esto da aproximadamente 5,6233 y 3,1040. Es evidente que la primera solución no vale para el problema, pues su doble es claramente superior a 8 unidades.

Como ya tenemos el valor de x, que es la altura de ese triángulo, podemos ahora calcular el área de la zona sombreada, como 16 - x*8/2 = 16 - 4*8*(6 - √3)/11 = (176 - 192 + 32√3)/11 = (32√3 - 16)/11 que, de nuevo usando la calculadora, da un valor aproximado de 3,5841, que es la solución buscada.

El otro método consiste en trabajar con las ecuaciones de las rectas que se representan, de forma que se encuentren las coordenadas del punto de corte. La coordenada vertical será la altura sobre la base, con lo que el cálculo final será el mismo. Las ecuaciones de las rectas serían la de pendiente -1/2 y que pasa por el punto (0, 8) y la que tiene pendiente √3 (porque es paralela al lado de un triángulo equilátero), y pasa por el punto (8, 0). Las ecuaciones serán y = -x/2 + 8, y y = √3x - 8√3. El punto de corte debería dar el mismo valor de coordenada vertical que el obtenido anteriormente.