Sucesiones geométricas de Fibonacci

Enunciado

En los comentarios al enunciado se ha detallado bastante la solución, no hay mucho que añadir.

En primer lugar, si una sucesión es progresión geométrica, si consideramos uno de sus términos no nulos como T y la razón x, los dos términos que siguen a T serían Tx y Tx². Si además es de fibonacci, se cumplirá que Tx² = Tx + T. Evidentemente, puesto que T no vale cero, podemos dividir por T, con lo que nos queda la ecuación de segundo grado x² = x + 1, es decir, x² - x - 1 = 0, cuyas soluciones son las que buscamos, el número áureo, (√(5)+1)/2, y el opuesto de su inverso, (1-√(5))/2. Con esto queda probado el primer enunciado.

Para probar el segundo, basta utilizar que esas dos razones cumplen la ecuación x² = x + 1, ya que para cualquier T que pertenezca a la sucesión, tenemos que el siguiente término es Tx y el siguiente Tx². Para demostrar que es de fibonacci, tendremos que probar que ese tercer término es igual a la suma de los dos anteriores. Según hemos visto, Tx² = T(x + 1) = Tx + T, dada la igualdad ya vista. Luego es, en efecto, de fibonacci.

De todas formas, recomiendo leer con detenimiento los comentarios del enunciado.