Coloreando un tablero

Enunciado

Conseguir 40 dominós

Si empezamos con un tablero ajedrezado en blanco y azul, sin ninguna casilla roja, es evidente que podemos dividirlo en 50 dominós perfectos. Al tratar de situar 20 casillas rojas de forma que no se toquen por los bordes, hemos de tratar de mantener el mayor número posible de dominós. Así, cada vez que situamos una casilla, rompemos un dominó, y su casilla debe pasar a formar parte de otra, ya que no puede ser cubierta por una roja (sería contigua a la anterior). La casilla más cercana que podemos pintar de rojo, respetando esta idea, está tres casillas por delante en la misma fila.

Esa estrategia se puede repetir en filas alternativas, tapando exactamente 20 casillas con el color rojo y dejando 40 dominós perfectos, como se indica en la imagen..

Evidentemente, te darás cuenta que todas las casillas, o forman parte de un dominó, o son rojas, por lo que es imposible que puedas lograr una coloración con más dominós (lo que prueba el apartado 2).

Máximo 30 dominós

La tercera prueba es algo más difícil, pero si pensamos en la coloración inicial, también resulta evidente que, si las casillas que dejamos están conectadas, no hay más remedio que pintarlas ajedrezadas en blanco y azul, y si las casillas rojas eran todas originalmente del mismo color, es imposible formar más de 30 dominós, como pide el apartado 4, y por tanto conseguiremos exactamente 30, como en el ejemplo de la segunda imagen.

No se pueden conseguir más porque las casillas que no son rojas tienen el mismo color, y un dominó perfecto usa un color de cada.