domingo, 18 de abril de 2010

Tarjetas adecuadas

Enunciado

La idea clave es que un conjunto que sea lo mayor posible se sumará teniendo en cuenta por un lado las decenas y por otro las unidades. Como no pueden coincidir los dígitos de las decenas y de las unidades, la cantidad de dígitos nos indicará cuántas veces se suma.

Por ejemplo, si usamos sólo el 1 para las decenas, los dígitos 0, 2, 3, ... 9, que son 9 en total, se usarán para las unidades, lo cual quiere decir que habrá exactamente 9 cartas. Las decenas sumarán 1*10*9 (10 por ser decenas, 9 por ser 9 unidades distintas), mientras que las unidades sumarán (0 + 2 + ... + 9)*1*1 (1 por ser unidades, y 1 por sólo poder tener un tipo de decena).

Una vez que hemos establecido un método de sumar los números de las tarjetas, está claro que es mejor que los números mayores estén en las decenas, aunque no sabemos cuántos números nos interesa que haya.

Así, si utilizamos sólo el 9 para decenas, tendremos 9*10*9 + (0 + 1 + ... + 8)*1*1 = 810 + 36 = 846.

Si utilizamos sólo el 9 y el 8 para decenas, la suma será (8 + 9)*10*8 + (0 + 1 + ... + 7)*1*2 = 1360 + 56 = 1416, que es mucho mayor.

Si usamos del 7 al 9 para decenas, la suma será (7 + 8 + 9)*10*7 + (0 + 1 + ... + 6)*1*3 = 1680 + 63 = 1743. De nuevo observamos que aumentan los dos sumandos y el resultado.

Si utilizamos del 6 al 9 para las decenas, tenemos (6 + 7 + 8 + 9)*10*6 + (0 + 1 + ... + 5)*1*4 = 1800 + 60 = 1860. Observa que el primer sumando sigue siendo mayor, aunque el segundo se reduce un poco. La suma total aún será mayor.

Si usamos del 5 al 9 para las decenas, la suma será (5 + 6 + ... + 9)*10*5 + (0 + 1 + 2 + 3 + 4)*1*5 = 1750 + 50 = 1800. Aquí podemos observar una sensible reducción de ambos sumandos, que se acentuará si aumentamos el número de dígitos dedicados a las decenas, puesto que los podremos sumar menos veces.

Así, la suma mayor será 1860, y la podremos obtener con las tarjetas que tengan del 6 al 9 en las decenas, y del 0 al 5 en las unidades.