La letra del DNI
Efectivamente, si una de las cifras es o no correcta, se aprecia claramente por lo que sabemos, ya que si probamos las diez posibles combinaciones, sólo una de ellas da un resto adecuado.
Otra manera de calcularlo es escribir el número como 12024788 + k*10000, y por lo tanto, su resto, al dividir entre 23, será el mismo que 20+k*19 para todos los k (en realidad, el mismo que 20 - 4k). Puesto que queremos que sea 12, podemos ver que el resto si el dígito es 0 es 20, si es 1, 16, si es 2, 12 (que es el que queremos), si es 3, 8, y así sucesivamente (observa que si es 5, el resto es 0, y si es 6, el resto será 19 (23 - 4).
Sea como sea, el dígito debe ser 2 y no 9.
En la segunda parte, vemos que dividir entre 25 no sirve en este caso, ya que el resto (salvo que toquemos las últimas dos cifras) no varía al alterar una cifra cualquiera. En el caso que nos preguntas, los 10 valores dan el mismo resto, 21.
Dividir entre 21 vuelve a ser útil para este cálculo, ya que cada dígito diferente da un resto distinto. Podemos organizar un ejemplo como el primero, por ejemplo, alterar el tercer dígito del 12024788 y comprobar que para el 0 da 20, para el 1 da 18, para el 2 da 16 y así sucesivamente (vemos que no hay dos restos iguales). Debido a que los factores primos de 21 no dividen a 10 (y por tanto, no dividen a sus potencias) y es mayor que 10, es sencillo entender que esto va a suceder para cualquier dígito que cambiemos.
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