Una enorme potencia de 2

Enunciado

Empecemos por investigar la última cifra de las potencias de 2. Observamos que sigue el siguiente ritmo: 1, 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, .....

En realidad, puesto que 2 elevado a 4 acaba en 6, y 6 tiene la propiedad de que al multiplicarlo por cualquier número par, el resultado acaba en ese mismo número par, cualquier potencia de exponente n acabará en el mismo número que una de exponente n + 4.

Por lo tanto, bastará estudiar el resto de la potencia que tenemos. Como sabemos que cualquier número que acabe en dos ceros es múltiplo de 4, y el anterior al que tenemos acaba en un doble cero, 2 elevado a un número menos debe acabar en lo que acaban todas las potencias de exponente múltiplo de 4, en 6. Y la que buscamos por tanto acaba en 2.

Ahora que sabemos la última cifra, vamos a estudiar la penúltima, pero sólo de las potencias que acaban en 2, multiplicando de 16 en 16. Observamos que el resultado depende únicamente de en que dos cifras acababa la potencia anterior.

Así, la potencia 5 acaba en 32 (es 32), la potencia 9 acaba en 12, la 13 en 92, la 17 en 72, la 21 en 52, y la 25 en 32. Eso quiere decir que después volverá a tener exactamente las mismas terminaciones, de forma que cada 5x4 potencias de 2 (es decir, cada 20) volverá a tener la misma terminación.

Desde 21 a 101 hay exactamente un múltiplo de 20 (80), es decir, terminará también en 52, y así será para todos los que se diferencien en múltiplos de 20, incluidos todos los exponentes que acaben en 01 (ya que serán una cantidad entera de centenares mayores que 101). Por lo tanto, el número que nos ocupa acaba en 52.

Pero eso sí, sería un número verdaderamente grande.