Una función natural

Enunciado

Este tipo de problemas requieren, en primer lugar, captar el comportamiento de una función haciendo pruebas sobre números concretos, hasta elaborar una conjetura que nos permita aproximarnos a números mayores, e incluso a una tendencia general.

Para n = 1 nos dan el valor, 1. Para n = 2, como n = 2*1, f(n) = 3*1 = 3. De la misma forma, f(3) = 1 + f(2) = 3 + 1 = 4.

Podemos entonces calcular f(7) = 1 + f(6) = 1 + 3*f(3) = 1 + 3*(1 + f(2)) = 1 + 3 + 3*3*f(1) = 1 + 3 + 3*3 = 1 + 3 + 9 = 13. Respondemos, por lo tanto, a la primera pregunta.

Con un poco de intuición, podemos observar que si expresamos un número como suma de potencias de dos (como podemos hacer, por ejemplo, con 27 = 1 + 2 + 2*2*2 + 2*2*2*2), su imagen a través de esta función consiste en cambiar los números 2 por 3. Puesto que todo número puede expresarse así, es una buena caracterización.

Entonces, un número podrá o no ser imagen de otro si se puede expresar como suma de potencias de tres, cosa que no todos los números pueden lograr.

Seguimos, entonces, con f(8) = f(2*2*2) = 3*3*3 = 27.

Y f(12) = f(2*2 + 2*2*2) = 3*3 + 3*3*3 = 9 + 27 = 36.

Continuamos, ahora a la inversa, 27 = 3*3*3, por lo tanto 27 = f(8).

Y 30 = 3 + 3*3*3 = f(2 + 2*2*2) = f(10).

Sin embargo, 29 no puede ser expresado como suma de potencias de 3, por lo que es imposible que sea imagen de cualquier número.

También se puede acotar y ver que es mayor que cualquier imagen por debajo de 9, y menor que cualquier imagen de números mayores que 10, pero hay que tener mucho cuidado.