Un cubo de suma cero

Enunciado

El cubo de suma cero no existe. Pero hay que demostrarlo. Hay varias formas de abordar el problema. Después de darle alguna vuelta al cubo, tanteando con valores, me di cuenta de que cada vez que cambias un vértice de signo, alteras tres valores de los que se suman en este problema exactamente, cambiando el signo de todos ellos.

Cambias el propio vértice, pero cambias también el signo de las tres caras que están en contacto con él. Depende del signo que tuvieran anteriormente, puedes conseguir añadir o restar ocho a la suma total, si todos tenían antes el mismo valor, que la suma total permanezca igual, si había dos de cada, o, si hay uno de un signo y tres de otro, la suma varía en cuatro unidades. Por lo tanto, y pensando que la suma más sencilla de realizar es 14 (con todos los vértices a 1), sólo se podría lograr ir de 4 en 4 (y no en todos los casos), así que sólo serían alcanzables, según esta restricción los números 10, 6, 2, -2, etcétera, de la forma 2 + 4n, lo que no incluye el 0 (observa que no hay manera tampoco de conseguir 10, ya para esto un único cambio debería llevar a todos los vértices a 1, y en ese momento no habría tres caras de un signo y otra de otro).

La solución que propone la página del periódico es pensar que la suma de los catorce números, para dar cero, debe incluir 7 números positivos y siete negativos, con lo que el producto de todos ellos debería ser negativo, por ser una cantidad impar de negativos. Sin embargo, esto no puede suceder, debido a que el producto de todos ellos es exactamente igual a la potencia cuarta de los ocho de los vértices (que contribuyen tres veces al producto global, más ellos mismos). Y debe ser positivo, como todas las potencias cuartas.

Otra forma de verlo es cubrir todas las opciones, que no es muy complicado si se tienen en cuenta las simetrías del cubo.