Buscando un número con muchos divisores (I)

Enunciado

Si pruebas con un único primo, encuentras rápidamente el que más divisores tiene de este tipo, el 512 = 2⁹, que tiene 10 divisores. Sin embargo, hay números con más.

Con dos primos, hemos de buscar los que tienen factores 2 y 3. Usando un sistema sencillo de criba, obtenemos que 768 = 2⁸*3 tiene 18, y 576 = 2⁶*3² tiene 21. Pero 864 = 2⁵*3³ tiene 24, y es el que más tiene, pues si seguimos bajando la potencia de 2 disminuimos el número de divisores.

Si probamos con tres primos, debemos afinar más, ya que necesitaremos usar el 2, el 3 y el 5. Resulta conveniente usar sólo un factor 5 y encontrar el número con más divisores. Si aumentamos la cantidad de factores 5 no mejoramos el resultado. El número 720 es el número que más divisores tiene de este tipo, que asciende a 30 divisores. Si usamos dos factores 5, sólo llegamos al 900, que tiene 27 divisores.

Usar más primos mejora el número de divisores, ya que si usamos un cinco y un 7, el múltiplo de 35 que más divisores tiene es el 840 = 2³*3*5*7, de 32 divisores. No podemos aumentar el número de primos, ya que el siguiente es excesivamente grande, el 11, y excedemos el límite.

Está claro, parece que usar muchos primos es mejor para obtener muchos divisores, al menos en este caso.