Buscando un número con muchos divisores (II)

Enunciado

Está claro que el proceso se parece al usado en el problema Buscando un número con muchos divisores (I). No podemos factorizar 1000 números e ir contando, si no que habrá que cribarlos de alguna manera más o menos sensata.

Números que sólo tienen un primo en su descomposición, con el primo más pequeño (2), entre 1000 y 2000 sólo tenemos al 1024 = 2¹⁰, que tiene 11 divisores.

Con dos divisores (de nuevo los más pequeños) tendrán que ser múltiplos de 6. Encontramos una potencia de 6 adecuada, que es 1296, que tiene 25 divisores. Aumentar la cantidad de 2 a cambio de eliminar 3 nos lleva al 1728, que tiene 28 divisores, pero no podemos repetir el proceso más veces, porque pasamos a tener menos (1152 tiene sólo 24).

Con tres divisores hemos de usar los primos 2, 3 y 5 (es decir, un múltiplo de 30). Con un único factor 5 tenemos como mejor resultado (siguiendo un método parecido al anterior) el 1440, que acumula nada menos que 36 divisores. Si tratamos de usar dos cincos, también llegamos al 1800, que tiene 36 divisores.

Con cuatro divisores, siguiendo un razonamiento similar, usamos el 210 = 2*3*5*7, y le vamos añadiendo factores 2 y 3 selectivamente, hasta conseguir el 1680, que tiene 40 divisores. Como no podemos añadirle más factores 5 o 7 sin pasarnos, este es el mayor de su tipo.

El primer número con 5 divisores que encontramos es el 2310, que se pasa del margen que tenemos, y que, de todas formas, tiene menos divisores. Así que el mejor sigue siendo único, el 1680 = 2⁴*3*5*7.