Pesando tornillos

Enunciado

Hay un problema clásico en el cual hay que distinguir una caja de tornillos (o monedas) que sabemos que pesan diferente con una única pesada, y escogemos una cantidad distinta de tornillos (o monedas) de cada caja para hacer la pesada y según lo que resulte sabremos cuál es la caja de los que pesan diferente.

Este problema es similar, basta una pesada, sólo que necesitamos detectar tres cajas de las seis, por lo que la cantidad de tornillos tendrá que ser elegida cuidadosamente, para que cada posible pesada de tres diferentes nos indique cuáles son sus cajas de referencia. Dicho de otra forma, hay que escoger una cantidad de tornillos diferente de cada caja de forma que cada posible suma de tres dé un resultado diferente. Además estamos limitado a un máximo de 13 tornillos de cualquiera de las cajas.

Así, busqué cantidades entre 1 y 13 de forma que: sean todas distintas, la suma de dos de ellas sean distintas (porque al unirse a una tercera "ocultarían" la procedencia), y la suma de tres cualesquiera de ellas también sean todas distintas.

Empezando con 0 tornillos de la caja A, podemos intentarlo con 1 tornillo de la B, y 2 de la C.

A partir de ahí, no podemos elegir sólo 3 de la D, debemos elegir 4.

De la E no funciona elegir 5 o 6, así que habrá que escoger al menos 7.

Y tanteando, vemos que tampoco podemos conformarnos con menos de 13 de la última caja.

Así, cada combinación de cajas en las que los tornillos pesen más, de las 20 posibles, dan un peso diferente. Cada combinación ABC marca en qué cajas los tornillos seis gramos, y al lado el peso esperado de los 27 tornillos.

ABC 138

ABD 140

ABE 143

ABF 149

ACD 141

ACE 144

ACF 150

ADE 146

ADF 152

AEF 155

BCD 142

BCE 145

BCF 151

BDE 147

BDF 153

BEF 156

CDE 148

CDF 154

CEF 157

DEF 159

Por lo tanto, según el peso, sabremos qué caja es más ligera y cuál es más pesada.

¿Puede darse otra combinación? Una muy sencilla sería elegir el "complemento al 13", es decir, dejar en la caja las cantidades que hemos dicho y sacar los restantes, así, tomaríamos 13, 12, 11, 9, 6, 0, pero así sumaríamos nada menos que 51 tornillos. Hay otro par de combinaciones, 0, 1, 2, 7, 10, 13, que suman 33 tornillos y su complementaria, 13, 12, 11, 6, 3, 0, que suman 45, si no me equivoco. Todas ellas necesitan más tornillos que la inicial.