Una camiseta en zigzag

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Puntadas en zigzag

Como se aprecia fácilmente, si todas las puntadas tienen la misma longitud, está claro que los triángulos que se forman entre dos puntadas son isósceles, es decir, tienen dos lados (y por tanto, dos ángulos) iguales y otro diferente.

Yo he elegido para su estudio el ángulo distinto del último triángulo isósceles junto al ángulo recto. Le llamaré ángulo A a partir de ahora. Evidentemente, los otros dos ángulos son 90 - A/2, para que entre los tres sumen 180.

Si nos damos cuenta de que el ángulo igual del triángulo de al lado forma un ángulo de 90 - A, tendremos que el que es distinto medirá 2A.

De la misma forma, el ángulo igual del siguiente triángulo medirá 180 junto con el distinto del segundo y el igual de el primero, es decir, que 180 = x + 2A + 90 - A/2, por lo que x = 90 - 2A + A/2 = 90 - 3A/2, por lo que el ángulo distinto del tercer triángulo mide 3A. Procedamos por inducción a ver que cada triángulo tiene como ángulo desigual un múltiplo de A que coincide con su posición.

Podemos suponer que, hasta el triángulo N, cada triángulo isósceles P de la costura mide P*A por hipótesis de inducción, veamos que el triángulo N + 1 mide (N + 1)*A. Su ángulo igual suma 180 grados con el ángulo desigual del anterior (N) y el igual del anterior del anterior (90 - (N-1)*A/2). Por lo tanto, se da que 180 = x + N*A + 90 - (N - 1)*A/2, de donde x = 90 - 2*N*A/2 + (N - 1)*A/2 = 90 - (2N - N + 1)*A/2 = 90 - (N + 1)*A/2, por lo que su ángulo desigual medirá (N + 1)*A, como se esperaba.

Ahora bien, si hemos dado 20 puntadas, se habrán formado 19 triángulos isósceles, y el último formará el punto de corte de las dos rectas como su ángulo igual, de forma que, como su ángulo desigual mide 19A, el que forman las dos rectas es de 90 - 19A/2. Y como es un ángulo de triángulo rectángulo, debe sumar con el otro 90, es decir, con 90 - A/2. Así, 90 - 19A/2 + 90 - A/2 = 90, por lo que 90 = 10A y tenemos que A = 9 grados, por lo que el ángulo que forman ambas rectas para 20 puntadas es 90 - 19*9/2 = 4,5 grados (4 grados 30 minutos).

La longitud de la puntada sería igual al cateto corto del triángulo rectángulo. Si el cateto largo mide 25 centímetros, aplicando trigonometría básica, las puntadas deben medir 25*tan(4,5), que es aproximadamente 1,97 centímetros.

Esto no podría hacerse con un número impar de puntadas, ya que el ángulo que formaría el ángulo recto sería el lado igual del isósceles, y no puede suceder que un triángulo tenga dos ángulos rectos.