Cuadrado perfecto

Enunciado

Este tipo de problemas tiene su propia mecánica. Soluciones felices a parte, o deducciones de reglas más sencillas, lo más cómodo suele ser recurrir a la inducción.

La inducción es un método de demostración ideal para trabajos con números naturales o series. La idea es que de cada enunciado se pueda deducir el siguiente, así disponemos de un sistema para llegar a cualquier número salto a salto. Para que la demostración sea correcta es necesario demostrar dos cosas: que el primer caso, o los primeros casos, son ciertos, y que del hecho de que un caso sea cierto podemos deducir la veracidad del siguiente.

En el problema que nos ocupa, el primer caso (cuando n=1) es trivial, porque el último sumando es 2*1 - 1 = 1, por lo que la primera parte de la igualdad queda con un solo sumando, 1, y la otra vale 1² = 1.

Por si el caso no os queda claro, veamos el segundo para estar más seguros. Si n = 2, el último sumando de la parte izquierda de la igualdad es 2*2 - 1 = 4 - 1 = 3, es decir, la expresión es 1 + 3 = 4, que coincide evidentemente con 2².

Ahora viene la parte difícil. Supongamos que la expresión es cierta para un valor de n determinado, es decir que 1 + 3 + 5 +... + (2n-1) = n². ¿Qué sucedería para el siguiente número, que sería n+1? Aplicando la fórmula del ejemplo, el último sumando sería 2*(n+1)-1 = 2*n+2-1 = 2*n+1, que es el siguiente al último sumando de la expresión antigua, es decir, 1 + 3 + 5 +... + (2n-1) + (2n+1), y debería coincidir con el cuadrado de n+1.

Como hemos supuesto que es cierta la expresión para el número n, podemos substituir la suma de todos los sumandos menos el último por n², es decir que 1 + 3 + 5 +... + (2n-1) + (2n+1) = n² + (2n+1). Ahora bien, ¿qué vale la otra parte de la igualdad? Como (n+1)² = n² + 2n + 1 según conocemos desde los productos de polinomios, ambos extremos realmente coinciden. Luego la igualdad para el valor n+1 puede deducirse de la igualdad para n, y queda terminada la inducción.