El tesoro de los gnomos

Enunciado

Este tipo de problemas es muy típico. Se trata de repartos enteros en los que debemos dar una cifra mínima. La frase "al menos" es una constante en esta clase de problemas. La solución, frecuentemente, viene acompañada del principio del palomar. Es decir, si en un palomar hay cuatro palomas y sólo tres salidas, por una de las salidas deben salir, al menos dos palomas (si no fuese así, sólo podrían salir tres palomas del palomar).

En nuestro caso, cada una de las 12 puertas tiene 12 cerraduras, lo que hace un total de 144 llaves. Como son siete los gnomos del enunciado, podemos hacer dos grupos de tres y uno suelto. Veremos cuántas llaves podemos hacer que tenga el que va suelto.

Cada vez que juntemos a tres de los siete gnomos, tendrán entre todos 144 llaves, por lo menos. Como 144 dividido entre 3 resulta 48, al menos uno de ellos tendrá 48 o más llaves (como en el principio del palomar). Tomemos A uno de los gnomos que tiene al menos 48 llaves. Con los otros 6, formamos dos grupos de tres, en el que cada uno de los dos deberá tener, al menos, las 144 laves que abren todas las puertas. En total hemos visto que tendrán, al menos, 48+144+144 = 336 llaves.