jueves, 15 de marzo de 2007

El dinero de María

Enunciado

En primer lugar, podemos hacer unas sencillas simulaciones, que nos llevan a comprobar que hacer operaciones consiste en tomar el dinero inicial del banco (500) y restarle una cantidad determinada de veces 300 y sumarle otra cantidad entera de veces 198. La expresión del dinero obtenido quedaría, por tanto, como 300N-198M, donde N y M son enteros positivos.

Cuando se combinan dos números con enteros, se debe saber que se puede obtener como mínimo el máximo común divisor de ambos, y que siempre cualquiera de las combinaciones es múltiplo de este valor. No te preocupes si no entiendes del todo la demostración que viene a continuación, es un comentario útil, pero innecesario. Ayuda mucho en los planteamientos de este tipo de problemas, por lo que vamos a ver un breve resumen. Es evidente que si un número divide a todos (es un divisor común), también divide a sus combinaciones enteras. Supongamos que R es la menor de sus combinaciones. Como el MCD es divisor de R, si R no es el MCD, debe ser mayor que éste, por lo que no será un divisor común de todos los números, en particular de S. Aplicando la regla de la división con resto, existe un valor T (resto) menor que R y uno C (cociente) de forma que S = R*C+T, así que S-RC = T, es decir, T es una combinación entera y es menor que R, que se suponía el menor. Como esto es absurdo, R debe dividir a todos, luego será el MCD.

El caso es que en nuestro problema, tenemos una combinación de dos números (300 y 198). El valor mas pequeño que se debe obtener, teniendo en cuenta la factorización de 300 = 2*2*3*5*5 y 198 = 2*3*3*11, es el MCD, esto es, 2*3 = 6. Y todos los valores obtenidos deben ser múltiplos de 6. El múltiplo de 6 más grande menor que 500 es 498 = 6*83, por lo que podremos combinar esa cantidad. Ahora debemos hacer unas cuantas pruebas para ver cómo lo logramos. Veamos tres aproximaciones.

Es fácil darse cuenta si un número es o no múltiplo de 300, de forma que como queremos ver de qué forma podemos obtener 498 = 300N-198M, debemos probar 498+198*N, hasta dar con un múltiplo de 300. Puede ser laborioso, pero seguro que funciona.

Puede que nos demos cuenta muy pronto de que 498 = 300+198, aunque esta combinación no nos sirve, pues 198 debe ser multiplicado por un factor negativo. Si obtenemos su MCM, 2*2*3*3*5*5*11 = 9900 = 300*33 = 198*50, podemos sumarlo y restarlo, obteniendo 498 = 300+300*33+198-198*50, de forma que, agrupando factores, 498 = 300*34-198*49. Es decir, que basta extraer 34 veces 300 e ingresar 49 veces 198, cuidando de no quedarse sin dinero en la cuenta ni fuera de ella (ya verás cómo se cansan en el banco).

Otra forma podría ser lograr primero 6=300M-198N, por un procedimiento similar al visto en el primero, es decir, sumando 6+198N hasta obtener un múltiplo de 300. Esto ocurre a la tercera prueba, es decir, 600 = 6+198*3, o sea 6 = 2*300-198*3. Repitiendo este proceso 83 veces, obtenemos el resultado deseado, es decir, 498 = 166*300-198*249. Como ves, aún abusas más de los empleados del banco.